Blog de la Carrera de Informática Educativa de la UNL

octubre 14, 2008

La constante PI, historia y los números imaginarios…..

Filed under: Módulo 3: LA PROGRAMACIÓN Y SU APLICACIÓN MEDIANTE L — infoeducaunl @ 9:54 am

Saludos estimad@s, como es conocimiento de todos hasta el día viernes debemos de cumplir con la tarea de investigar sobre la historia de la constante PI así como tambien de los numeros imaginarios, escriban un comentario acorde a su investigación que hayan realizado sobre PI.

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  1. La constante π (pi) es un número irracional, cociente entre la longitud de la circunferencia (perímetro) y la longitud de su diámetro. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:
    El valor de π ha sido conocido con distinta precisión a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física,
    Los numeros imaginarioses un número cuyo cuadrado es negativo. Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a el nombre de i (por imaginario) y se propuso para ser despectivo, . Cada número imaginario puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad imaginaria, con la propiedad:

    Comentario por Patricio Saavedra — octubre 14, 2008 @ 1:12 pm

  2. Número π
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    Letra griega pi. Símbolo adoptado inicialmente en 1706 por William Jones y popularizado por Euler.π (pi) es un número irracional, cociente entre la longitud de la circunferencia (perímetro) y la longitud de su diámetro. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:

    La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego “περιφέρεια” (periferia) y “περίμετρον” (perímetro) de un círculo.[1] Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones[2] y popularizada por el matemático Leonhard Euler en su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» de 1748. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (no se debe confundir con el número de Arquímedes).

    El valor de π ha sido conocido con distinta precisión a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Tal vez por ello sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La constancia de la razón de la circunferencia al diámetro no es válida en geometrías no euclídeas.

    Visualización de la definición de π. Es el perímetro de una circunferencia de diámetro 1.Lista de números – Números Irracionales
    ζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δ
    Binario 11,00100100001111110110…
    Decimal 3,14159265358979323846…
    Hexadecimal 3,243F6A8885A308D31319…
    Fracción continua
    Nótese que la fracción continua no es periódica.
    Contenido [ocultar]
    1 Historia del número π
    1.1 Época egipcia
    1.2 Época griega
    1.3 La matemática persa y china
    1.4 Renacimiento europeo
    1.5 Época moderna (pre-computacional)
    1.6 Época moderna (computacional)
    2 Propiedades matemáticas
    2.1 Definiciones
    2.2 Irracionalidad y trascendencia
    2.3 Las primeras 200 cifras decimales
    3 Fórmulas que contienen a π …
    3.1 En geometría
    3.2 En probabilidad
    3.3 En cálculo y trigonometría
    3.4 En análisis matemático
    4 Cómputos de π
    4.1 Pi y los números primos
    4.2 Fórmula de Machin
    4.3 Métodos eficientes
    5 Aproximaciones geométricas a π
    5.1 Método de Kochanski
    5.2 Método de Mascheroni
    6 Uso en matemáticas y ciencia
    6.1 Geometría y trigonometría
    6.2 Análisis superior y teoría de números
    6.3 Física
    6.4 Probabilidad y estadística
    7 Curiosidades
    7.1 Reglas nemotécnicas
    7.2 Aparición en medios
    7.3 Datos interesantes
    7.4 Días de Aproximación a Pi
    8 Cuestiones abiertas sobre π
    9 Referencias
    10 Véase también
    11 Enlaces externos

    Historia del número π [editar]La búsqueda del mayor número de decimales del número π ha supuesto un esfuerzo constante de numerosos científicos a lo largo de la historia. Algunas aproximaciones históricas de π anteriores a la época computacional pueden verse en la siguiente tabla:

    Año Matemático o documento Cultura Aproximación Error

    (en partes por millón)

    ~1650 a. C. Papiro de Ahmes Egipcia 28/34 ~ 3,1605 6016 ppm
    ~1600 a. C. Tablilla de Susa Babilónica 25/8 = 3,125 5282 ppm
    ~950 a. C. La Biblia (Reyes I, 7,23) Judía 3 45070 ppm
    ~500 a. C. Bandhayana India 3,09 16422 ppm
    ~250 a. C. Arquímedes de Siracusa Griega entre 3 10/71 y 3 1/7

    empleó 211875/67441 ~ 3,14163
    <402 ppm

    13,45 ppm

    ~200 Claudio Ptolomeo Greco-egipcia 377/120 = 3,141666… 23,56 ppm
    263 Liu Hui China 3,14159 0,84 ppm
    263 Wang Fan China 157/50 = 3,14 507 ppm
    ~300 Chang Hong China 101/2 ~ 3,1623 6584 ppm
    ~500 Zu Chongzhi China entre 3,1415926 y 3,1415929
    empleó 355/113 ~ 3,1415929 l de forma que la aguja no pueda tocar dos rectas). Si la aguja se lanza n veces y x de esas cae cruzando una línea, entonces se puede aproximar π usando el Método de Monte Carlo, lanzándola gran cantidad de veces:[27] [28] [29] [30]

    Aunque este resultado es matemáticamente impecable, no puede usarse más que para determinar unos cuantos dígitos de π experimentalmente. Para conseguirse sólo tres dígitos correctos (incluyendo el “3” inicial) requiere de millones de lanzamientos,[27] y el número de lanzamientos crece exponencialmente con el número de dígitos deseados. Además, cualquier error en la medida de las longitudes l y t se transfiere directamente como un error en la aproximación de π. Por ejemplo, una diferencia de un simple átomo en una aguja de 10 centímetros podría acarrear errores en el noveno dígito del resultado. En la práctica, incertidumbres en la determinación de si la aguja en realidad cruza una línea que parece estar solo tocándola lleva el límite de precisión alcanzable a mucho menos de 9 dígitos.

    Curiosidades [editar]Existen algunas curiosidades no científicas relacionadas directamente o indirectamente con este número. Hay quien afirma, por ejemplo, que los grandes ríos de las grandes llanuras recorren algo más de tres veces la distancia que habría en línea recta entre su nacimiento y su desembocadura…[cita requerida]

    Reglas nemotécnicas [editar]Es muy frecuente emplear poemas como regla nemotécnica para poder recordar las primeras cifras del número pi.

    Una forma de memorizar los 20 primeros dígitos es con este poema, sólo hay que contar las letras de cada palabra:
    Soy y seré a todos definible
    mi nombre tengo que daros
    cociente diametral siempre inmedible
    soy de los redondos aros

    Otra versión, que permite enumerar los 27 primeros dígitos, es la siguiente:
    “¿Qué? ¿Y cómo π reúne infinidad de cifras? ¡Tiene que haber períodos repetidos! Tampoco comprendo que de una cantidad poco sabida se afirme algo así, tan atrevido!” Nótese que para el segundo 1 (3,14159…) se utiliza la letra griega π.

    Un tercer poema:
    Voy a amar a solas, deprimido
    no sabrán jamás que sueño hallarte,
    perímetro difícil, escondido
    que en mis neuronas late…
    Oscuro el camino para ver
    los secretos que tú ocultas
    ¿hallarlos podré?…

    Otra regla, que permite recordar las primeras 32 cifras:
    “Soy π, lema y razón ingeniosa de hombre sabio, que serie preciosa valorando, enunció magistral. Por su ley singular, bien medido el grande orbe por fin reducido fue al sistema ordinario usual.”Aquí también se utiliza la letra griega π para el primer 1.

    Existen cuentos amplios que son capaces de hacer memorizar una gran cantidad de dígitos, tal es el Cadaeic Cadenza escrita en 1996 por el matemático Michael Keith ofreciendo la posibilidad de memorizar los primeros 3834 dígitos. De esta forma tomando “A” como 1, “B” como 2, “C” como 3, etc., el nombre de la historia saca los dígitos de pi, como “Cadaeic” es la primera palabra de 7 dígitos de pi:

    C a d a e i c
    3.1 4 1 5 9 3
    Es de resaltar que en cada idioma existen diferentes reglas nemotécnicas (se aconseja visitar cada Wikipedia para descubrir el arte empleado en cada idioma).

    Aparición en medios [editar]En el año 1998 aparece una película del director Darren Aronofsky denominada Pi sobre un matemático que cree que el mundo se representa por números.
    Alfred Hitchcock en su film Cortina rasgada hace aparecer el símbolo π como una organización de espionaje.
    En La Película The Net, Aparece en la parte inferior derecho de una pagina de conciertos y música, de un programa llamado The Mozart Ghost, Aparentemente es solo un adorno, pero cuando se presiona CRTL+ALT+Click en π, se Accede a la interface de datos de el Guardián de la Puerta, un Programa de los Pretorianos, Que pedia un Usuario y un Password.
    En la serie de dibujos The Simpsons (episodio Bye Bye Nerdie), “¡π es tres exactamente!” anuncio hecho por el profesor Professor Frink para poder atraer la atención de Lisa Simpsons y de la mitad de los científicos.
    En la serie Futurama aparecen diferentes referencias a π, tales como ‘aceite π en 1’, y ‘compre en πkea’.
    La novela Contacto de Carl Sagan —sobre la que luego se filmó la película homónima— toma a π (aunque no en base decimal) como un número que esconde la esencia misma del universo.

    Datos interesantes [editar]
    Escultura de Pi en la ciudad de Seattle.
    Piso-Pi mosaico en la entrada del edificio de las matemáticas en TU Berlín.
    Detalle del “Mazda Pi”, se añadieron 27 cifras decimales de π a este automóvil.
    Construcción aproximada para la cuadratura del círculo, encontrada por Ramanujan.El día 22 de julio (22/7) es el día dedicado a la aproximación de π.
    El 14 de marzo (3/14 en formato de fecha de Estados Unidos) se marca también como el día pi en el que los fans de este número lo celebran con diferentes actuaciones. Curiosamente es el cumpleaños de Einstein.
    355/113 (~3.1415929) se menciona a veces como una simulación ¡”cuasi-perfecta”!.
    Los usuarios del buscador A9.com que eligen su tienda virtual como amazon.com ofrecen descuentos de (π/2)% en sus compras.
    John Squire (de la banda The Stone Roses) menciona π en una canción escrita para su segunda banda The Seahorses denominada “Something Tells Me”. La canción acaba con una letra como: “What’s the secret of life? It’s 3.14159265, yeah yeah!!”.
    El primer millón de cifras de π y su inversa 1/π se puede consultar en el Proyecto Gutenberg o en este enlace.
    La numeración de las versiones del programa de tratamiento de texto TeX de Donald Knuth se realiza según los dígitos de π. La versión del año 2002 se etiquetó con 3.141592
    Se emplea este número en la serie de señales enviadas por la tierra con el objeto de ser identificados por una civilización inteligente extraterrestre.
    La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre si es 6 / π2
    Existen programas en internet que buscan tu número de teléfono en las 50.000.000 primeras cifras de π
    En algunos lenguajes de programación se pueden averiguar tantos dígitos como se desee con simplemente emplear expresiones como: RealDigits[ N[ Pi, 105]] en «Mathematica».
    En el año 2002 el japonés Akira Haraguchi rompió el record mundial recitando durante 13 horas 83.431 dígitos del número pi sin parar, doblando el anterior record en posesión del también japonés Hiroyuki Goto. El 4 de octubre de 2006, a la 1:30 de la madrugada, y tras 16 horas y media, Haraguchi volvió a romper su propio record recitando 100.000 dígitos del número pi, realizando una parada cada dos horas de 10 minutos para tomar aire.
    El máximo número de dígitos de π necesario para buscar cualquier secuencia de día-mes-año con cuatro dígitos en la expansión decimal de pi es 60.872.
    Existe una canción de Kate Bush llamada “Pi” en la cual se recitan más de veinte dígitos decimales del número.
    En Argentina, el número telefónico móvil para emergencias en estaciones de trenes y subterráneos es el número Pi: 3,1416.[31]
    El valor principal de la expresión ii es un número real y está dado por[32]

    En la página web thinkgeek.com pueden comprarse camisetas y accesorios con π. En el enlace se puede ver una camiseta en la que se construye la letra π con sus primeros 4493 digitos.[33] [34]
    En inglaterra aparecio un Crop Circle que al ser investigado por cientificos Estado Unidenses se revelo que su significado era el de π (pi)
    Existe un vehículo Mazda 3 modificado, al que se le añadieron 27 cifras de π, después del 3.[35]
    Srinivasa Ramanujan publicó una solución aproximada,con regla y compás, a la cuadratura del círculo en 1913 en la que obtuvo un segmento aproximadamente igual a :[36]

    Días de Aproximación a Pi [editar]Artículo principal: Día Pi
    Según determinadas coincidencias numéricas, los Días de Aproximación a Pi son:

    14 de marzo
    26 de abril
    22 de julio
    10 de noviembre
    21 de diciembre

    Cuestiones abiertas sobre π [editar]Cada uno de los dígitos decimales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, ¿tiene una aparición infinita en los decimales de π?
    La denominada cuestión de Brouwer: en la expansión decimal de π, ¿existe alguna posición donde exista una sucesión de mil ceros consecutivos?
    ¿Es π simplemente normal en base 10? Es decir, ¿tiene cada uno de los diez dígitos del sistema decimal la misma probabilidad de aparición en una expansión decimal?
    ¿Es π normal en base 10? Es decir, si tomamos un bloque de n dígitos con una ordenación cualquiera de estos bloques ¿Tiene la misma probabilidad de aparición?
    No se sabe si π+e, π/e , ln(π) son irracionales. Se sabe que no son raíces de polinomios de grado inferior a ocho y con coeficientes enteros del orden 109.[37] [38]

    Referencias [editar]↑ G L Cohen and A G Shannon, John Ward’s method for the calculation of pi, Historia Mathematica 8 (2) (1981), 133-144
    ↑ New Introduction to Mathematics, William Jones, 1706, London
    ↑ Gay Robins y Charles Shute: “The Rhind Mathematical Papyrus: an ancient Egyptian text”, British Museum Publications, London , 1987, véase “Squaring the Circle”, páginas 44 a 46
    ↑ “The Exact Sciences in Antiquity”, Otto Neugebauer, 1957, Dover, New York ,(nueva edición de 1969).
    ↑ Petr Beckmann: “A History of Pi”, publicada por primera vez por The Golem Press, 1971, edición consultada por Barnes and Noble Books, New York , 1993.
    ↑ A Volkov, Calculation of π in ancient China: from Liu Hui to Zu Chongzhi, Historia Sci. (2) 4 (2) (1994), 139-157
    ↑ a b c Boyer Carl (1999). Historia de la Matematica. Madrid : Alianza Editorial. 84-206-8186-5.
    ↑ MacTutor Biografy:Liu Hui (ingles)
    ↑ C Jami, Une histoire chinoise du ‘nombre π’, Archive for History of Exact Sciences 38 (1) (1988), 39-50
    ↑ a b c d e Bailey David H. , Some Background on Kanada’s Recent Pi Calculation (2003). Disponible en este enlace. Consultada:22 de abril de 2008
    ↑ Elementos. Euclides, Libro V
    ↑ Mahler, K. “On the Approximation of .” Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 56/Indagationes Math. 15, 30-42, 1953.
    ↑ Bailey, David H., Borwein, Peter B., and Borwein, Jonathan M. (January 1997). “The Quest for Pi”. Mathematical Intelligencer (1): 50-57.
    ↑ Japonés rompe el récord de memorizar cifras de pi. BBC News (2 de febrero de 2005). Consultado el 2007-10-30.
    ↑ Área y circunferencia de un Círculo de Arquímedes. Penn State. Consultado el 2007-11-08.
    ↑ Weisstein, Eric W (28 de enero de 2006). Unit Disk Integral. MathWorld. Consultado el 2007-11-08.
    ↑ Area and Circumference of a Circle by Archimedes. Penn State. Consultado el 2007-11-08.
    ↑ Weisstein, Eric W (4 de mayo de 2006). Solid of Revolution. MathWorld. Consultado el 2007-11-08.
    ↑ Miller, Cole. The Cosmological Constant (PDF). University of Maryland. Consultado el 2007-11-08.
    ↑ Imamura, James M (2005-08-17). Heisenberg Uncertainty Principle. University of Oregon. Consultado el 2007-11-09.
    ↑ Einstein, Albert (1916). “The Foundation of the General Theory of Relativity” (PDF). Annalen der Physik. Consultado el 2007-11-09.
    ↑ Nave, C. Rod (2005-06-28). Coulomb’s Constant. HyperPhysics. Georgia State University. Consultado el 2007-11-09.
    ↑ Magnetic constant. NIST (2006 CODATA recommended values). Consultado el 2007-11-09.
    ↑ Weisstein, Eric W (2004-10-07). Gaussian Integral. MathWorld. Consultado el 2007-11-08.
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    ↑ Weisstein, Eric W (2003-07-02). Probability Function. MathWorld. Consultado el 2007-11-08.
    ↑ a b Weisstein, Eric W (2005-12-12). Buffon’s Needle Problem. MathWorld. Consultado el 2007-11-10.
    ↑ Bogomolny, Alex (2001-08). Math Surprises: An Example. cut-the-knot. Consultado el 2007-10-28.
    ↑ Ramaley, J. F. (Oct 1969). “Buffon’s Noodle Problem”. The American Mathematical Monthly 76 (8): 916-918.
    ↑ The Monte Carlo algorithm/method. datastructures (2007-01-09). Consultado el 2007-11-07.
    http://www.mininterior.gov.ar/camarasenvivo/inicio.asp
    ↑ Unidad imaginaria en Mathworld [1] (en inglés). consulta: 21 de abril de 2008
    ↑ Camisetas de pi en gaussianos.com. Consultado: 23 de abril de 2008.
    ↑ Página de ventas de camisetas pi en thinkgeek.com. Consultado: 23 de abril de 2008
    ↑ “Mazda Pi” en Gaussianos.com. Consultado: 23 de abril de 2008
    ↑ Ramanujan, Srinivasa (1913). “Squaring the circle” (djvu). Journal of the Indian Mathematical Society. Consultado el 2008-04-25.
    ↑ Bailey, D. H. “Numerical Results on the Transcendence of Constants Involving π, e and Euler’s Constant.” Math. Comput. 50, 275-281, 1988a.
    ↑ Pi en Mathworld [2] (en inglés). consulta: 21 de abril de 2008
    wikipedia.org/wiki/Número_π – 154k

    Nivel: 1º de secundaria
    ¿Cuál es la diferencia entre CÍRCULO y CIRCUNFERENCIA?

    El círculo es una figura con área, mientras que la circunferencia
    es sólo la orilla del círculo.

    Haz este experimento: dibuja un círculo y traza alguno de sus diámetros; corta un cordón del tamaño del diámetro y verifica cuántas veces cabe el cordón sobre la circunferencia. Notarás que cabe tres veces y sobra un poquito.

    Hazlo ahora con otra circunferencia. ¿Viste? Otra vez tres veces y un cachito. Interesante…

    Traza otro círculo y divide lo que mide su circunferencia entre lo que mide su diámetro. (Puedes medir la circunferencia colocando un cordón sobre ella y luego midiendo el cordón.) ¿Tu resultado es parecido a 3.1416? Hazlo cuantas veces quieras: el resultado siempre se parece a 3.1416. Es decir, en ambos experimentos tenemos que el diámetro cabe tres veces en la circunferencia y sobra un cachito.
    Estos resultados son sólo aproximaciones. El resultado exacto, , no es exactamente igual a 3.1416. Los matemáticos llaman al resultado de dividir lo que mide la circunferencia de un círculo entre lo que mide su diámetro. Este valor tiene un papel fundamental en las matemáticas.

    Antes del siglo XVIII no se tenía un símbolo para esta división, lo que los matemáticos solían escribir eran frases como ésta: quantitas, in quam cum multiplicetur diameter, proveniet circumferentia (la cantidad que, cuando es multiplicada por el diámetro, resulta en la circunferencia).

    La letra griega se utiliza desde 1706 para representar al resultado de dividir la circunferencia entre el diámetro de un círculo. es equivalente a la letra p de nuestro alfabeto y el matemático William Jones la escogió porque era la letra con la que empieza la palabra peripheria .

    redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/lugares/que_es_pi/pi.htm – 9k –

    Comentario por tito salazar — octubre 14, 2008 @ 3:20 pm

  3. HISTORIA DE PI
    Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado 8/9 del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi (3,14). “Uno de los documentos mas importantes de origen egipcio es el “Papiro Rhind” que desde el siglo XVII a.C. En dicho papiro aparece un método para calcular el área de un círculo. Este conocimiento, según el copista, es anterior al siglo XIX a.C. La regla para calcular el área dice: tomar el diámetro. Restar la novena parte. De esta diferencia tomar nuevamente la novena parte y restar de la anterior. Multiplicar el resultado por el diámetro. Tal es el área del círculo.”
    “Pi, letra griega (π) usada en matemáticas como el símbolo del cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. El matemático griego Arquímedes afirmó correctamente que el valor de Pi se encuentra entre 3 +1/7 y 3 + 10/71. ”
    NUMERO IMAGINARIO
    Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio al nombre de i (por imaginario) y se propuso para ser despectivo, aunque son un concepto válido suponiendo un plano con ejes cartesianos en el que los reales se encuentran sobre el eje horizontal y los imaginarios sobre el eje vertical complejo. Cada número imaginario puede ser escrito como ib. donde b es un número real e i es la unidad imaginaria.
    Un número que cuando se eleva al cuadrado da como resultado un número negativo.
    Ahora, si se eleva al cuadrado cualquier número real siempre se obtendrá un número positivo, o cero, como resultado. Por ejemplo 2×2=4, y (-2)×(-2)=4 también.
    Entonces ¿cómo podemos elevar al cuadrado un número y obtener un resultado negativo? Porque nos “imaginamos” que podemos? y resulta que tales números que pueden parecer imposible, son en realidad útiles y pueden resolver problemas reales.
    La “unidad” de números imaginarios (lo mismo que es “1” para los números reales)es √(-1) (la raíz cuadrada de menos uno, y su símbolo es i, o j.

    Comentario por Mayra Uchuari — octubre 15, 2008 @ 9:15 am

  4. Cualquier esfuerzo práctico por dividir el diámetro de un círculo en su propia circunferencia solo puede resultar en fracaso. Tal procedimiento sólo puede ser teórico en su naturaleza, e intentar obtener su valor “racional” solo conllevará a frustración. La frustración que se retrata a lo largo de la historia en el esfuerzo de la humanidad por medir lo inconmensurable. Ya en la antigüedad, los calculistas advirtieron que todos los círculos conservaban una estrecha relación entre su perímetro y su radio pero… ¿Puede este vínculo ser considerado como un número “racional”? Es decir: ¿Puede conocerse con exactitud esta relación, o debemos limitarnos a dar aproximaciones? Sólo desde el siglo XVII la relación se convirtió en un número y fue identificado con el nombre “Pi” (de periphereia, nombre que los griegos daban al perímetro de un círculo), pero largo fue el camino hasta aceptar que Pi era un irracional, como infinita es la posibilidad de encontrarle un nuevo decimal.
    A lo largo de la historia, la expresión de Pi ha asumido muchas variaciones. Uno de los mas antiguos textos matemáticos, el papiro de Rhind, (1700 años antes de nuestra era) nos muestra al escriba Ahmés cotejando la evaluación del área de un círculo inscrito en un cuadrado.
    La biblia le asigna el valor 3, en Babilonia 3 1/8; los egipcios 4(8/9)²; Siddhantas 3,1416; Brahmagupta 3,162277; y en China 3,1724. Sin embargo, como era de esperarse, fue en Grecia donde la exacta relación entre el diámetro y el perímetro de una circunferencia comenzó a consolidarse como uno de los mas llamativos enigmas a resolver. Un contemporáneo de Sócrates, Antiphon, inscribe en el círculo un cuadrado, luego un octógono e imagina doblar el número de lados hasta el momento en que el polígono obtenido coincida prácticamente con el círculo. Brisón, por la misma época, hizo intervenir los polígonos circunscriptos.
    Arquímedes reúne y desarrolla estos resultados. Muestra que el área de un círculo es el semiproducto de su radio por su circunferencia y que la relación de la circunferencia al diámetro está comprendida entre 223/71 = 3,14084 y 22/7 = 3,14285.
    Obtiene luego para las áreas y los perímetros de los polígonos regulares, inscritos y circunscritos, de n y 2n lados, relaciones de recurrencia de forma notable, que permiten calcular pi con una aproximación dada; este método de cálculo recibió el nombre de “algoritmo de Arquímedes”.
    Con el renacimiento, los trabajos de ciclometría se multiplican. Purbach construye una tabla de senos de 10′ en 10′ y adopta para Pi el valor 377/120 = 3,14666…. Los siglos XV y XVI se destacan por el desarrollo de la trigonometría, bajo el impulso de Copérnico y Kepler. Rhaeticus construye una tabla de senos en la que se incluye a Pi con 8 decimales exactos. Adrien Romain (1561-1615) obtiene 15 decimales y Ludolph de Colonia (1539-1610) llega hasta 32. Según su deseo, estos 32 decimales fueron grabados en su tumba, pero en su país la posteridad lo recompensó mucho mejor pues se dio a pi el nombre de “número de Ludolph”.
    Pronto la proeza de Ludolph se vió opacada por lo perfeccionamientos logrados por Snell (1580-1626) y Huyghens (1629-1655). El primero halla que el arco x está comprendido entre: 3 sen x /( 2 + cos x) y 1/3.(2 sen x + tg x) mientras que el segundo, cuya obra ha sido calificada como modelo de razonamiento geométrico, da la expresión (sen² x tg x)1/3 Con su método, Snell obtuvo 34 decimales exactos, partiendo del cuadrado y doblando 28 veces el número de los lados. Huyghens, en cambio, calcula Pi con 9 decimales exactos utilizando simplemente el polígono de seis lados.
    El cálculo infinitesimal dió fórmulas notables que, al aportar métodos de cálculo nuevos y mucho mas potentes, separó en cierto modo a Pi de sus origenes geométricos y aclaró el papel fundamental que que juega en todo el análisis matemático. El matemático francés Viete obtuvo, a fines del siglo XVI, la primer fórmula de Pi por medio de un producto infinito convergente que no hace figurar mas que a los número 1 y 2. Gregory en 1670 desarrolla la fórmula del Arco tangente que, para x = 1 da la fórmula de Leibniz: PI/4 = 1 – (1/3) + (1/5) -…
    Como caso particular, cabe mencional a Euler, a quien le debemos la costumbre de designar por Pi a la relación circunferencia : diámetro y quien en 1775 calculó su valor, con 20 decimales, en una hora por medio de la fórmula:
    Pi/4 = 5 arc tg 1/7 + 8 arc tg 3/79. Sin embargo, su mayor descubrimiento es el de un cierto parentesco entre Pi y otros números no menos importantes en la matemática, como lo son el número e, i, como así los lazos que existen entre las funciones circulares seno y coseno, y la función exponencial ex: ésta es periódica y su período imaginario es 2 i Pi.
    El mas constante entre todos aquellos que se abocaron al cómputo de Pi fue el matemático inglés William Shanks, quien luego de un arduo trabajo que le demandó nada menos que veinte años, obtuvo 707 decimales en 1853. Desafortunadamente, Shanks cometió un error en el 528º decimal, y apartir de ése todos los restantes están mal. En 1949 John Von Neumann utilizó la computadora electrónica ENIAC, y luego de setenta horas de trabajo obtuvo 2037 cifras decimales. Tiempo después, otra computadora consiguió 3.000 decimales en sólo 13 minutos. Hacia 1959, una computadora británica y otra gala lograron las primeras 10.000 cifras. En 1986 David H. Bailey extrajo 29.360.000 cifras en un Cray-2 de la Nasa utilizando el algoritmo de Ramanujan de convergencia cuártica. Finalmente, en 1987, Kanada consiguió mas de 100 millones de cifras se podrían conseguir facilmente 2.000 millones de cifras usando en exclusiva un superordenador durante una semana. En resumen, ya es prácticamente posible tantas cifras como se requiera, y el único impedimento aparente es debido al tiempo que un ordenador pueda tardar en conseguirlos.
    Lo cierto es que sólo cuatro decimales de Pi con suficiente precisión bastan para las necesidades prácticas. Con 16 decimales se obtiene, con el espesor aproximado de un cabello, la longitud de una circunferencia que tenga por radio la distancia media de la tierra al sol. Si reemplazamos el sol por la nebulosa mas lejana y el cabello por el corpúsculo mas pequeño conocido por los físicos, no harian falta mas que 40 decimales. Entonces ¿Que necesidad existe para buscar tantas cifras? Quizá ninguna necesidad práctica, pero el hombre no se resigna aún a aceptar cosas que no pueda llegar a comprender, como por ejemplo el infinito.
    Evolución de Pi a través del tiempo
    Persona/pueblo Año Valor
    Biblia ~ 550 AC 3
    Egipto ~ 2000 AC 3.1605
    China ~ 1200 A.C. 3
    Arquimedes ~ 300 AC 3.14163
    Ptolomeo ~ 200 AC. 377/120 = 3.14166…
    Chung Huing ~ 300 AC. raiz cuad.(10)
    Wang Fau 263 A.C. 157/50 = 3.14
    Tsu Chung-Chi ~ 500 A.C. 3.1415926<Pi<3.1415929
    Aryabhata ~ 500 3.1416
    Brahmagupta ~ 600 raiz cuad.(10)
    Fibonacci 1220 3.141818
    Ludolph van Ceulen 1596 35 decimales
    Machin 1706 100 decimales
    Lambert 1766 Nombró a Pi irracional
    Richter 1855 500 decimales
    Lindeman 1882 Nombró a Pi trascendente
    Ferguson 1947 808 decimales
    Ordenador Pegasus 1597 7.840 decimales
    IBM 7090 1961 100.000 decimales
    CDC 6600 1967 500.000 decimales
    Cray-2 (Kanada) 1987 100.000.000 decimales
    Univ. de Tokio 1995 4.294.960.000 decimales

    Comentario por LUIS MIGUEL DIAZ — octubre 15, 2008 @ 10:20 am

  5. NUMERO IMAGINARIO
    Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. El término fue acuñado por René Descartes en el siglo XVII y expresaba claramente sus creencia: obviamente tales números no existen. Hoy día situamos los números imaginarios sobre el eje vertical del plano complejo. Cada número imaginario puede ser escrito como ib donde b es un verdadero número e i es la unidad imaginaria con la propiedad:

    i2 = − 1.

    En la ingeniería eléctrico y otros campos relacionados, la unidad imaginaria se nota a menudo como j para evitar la confusión con la corriente alterna, denotada tradicionalmente como i. Cada número complejo se puede expresar de forma única como la suma de un número real y un número imaginario.

    Comentario por LUIS MIGUEL DIAZ — octubre 15, 2008 @ 10:27 am

  6. PI
    Como resulta de hacer una división (circunferencia entre diámetro), al principio se pensó que habrían de existir dos números enteros (como los que usamos para contar) cuya división diera como resultado su valor exacto. El registro más antiguo de que se conoce forma parte del papiro Rhind, escrito por un egipcio llamado Ahmes, hacia 1650 a.C. Los cálculos que hizo Ahmes en aquél entonces sugerían que
    = , más o menos 3.160493827160494 ….
    Ya para el siglo V a.C. en Grecia, Antifón y Brisón de Heraclea se dieron cuenta de que entre más lados tenían los polígonos, más se parecían a los círculos. Así que comenzaron trazando un hexágono, luego duplicaron el número de lados para obtener un dodecágono, volvieron a duplicar el número de lados para conseguir un polígono de veinticuatro lados, y así sucesivamente.
    Con esta idea y un polígono de 96 lados Arquímedes se dio cuenta de que el valor de se encontraba entre estos dos números:
    < <
    Esto quiere decir que es mayor que , pero menor que . Si hacemos las divisiones, podemos ver que el valor de está entre 3.1408450… y 3.1428571 …
    Fíjate que al final de estos dos últimos números hay puntos suspensivos. Estos puntos se ponen cuando los decimales que tiene un número son muchos y no vamos a escribirlos todos, o cuando, como en el caso de , la cantidad de decimales es infinita.
    ¿Cuál es la diferencia entre CÍRCULO y CIRCUNFERENCIA?
    El círculo es una figura con área, mientras que la circunferencia
    es sólo la orilla del círculo.
    Experimento: dibuja un círculo y traza alguno de sus diámetros; corta un cordón del tamaño del diámetro y verifica cuántas veces cabe el cordón sobre la circunferencia. Notarás que cabe tres veces y sobra un poquito.
    Hazlo ahora con otra circunferencia. ¿Viste? Otra vez tres veces y un cachito. Interesante…
    Esta formula empezó con François Viete y su fórmula:

    Esta forma de ecuación permite una compute un término a la vez, así permitiendo que un matemático trabaje en un término y otro a escoger para arriba donde el otro se fue apagado.

    Comentario por Claudio Rogel — octubre 15, 2008 @ 11:58 am

  7. Hola Ing. Luis Chamba y compañeros.
    Historia de π (pi)
    Como primero la historia de PI es una notación que fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones y popularizada por el matemático Leonhard Euler en su obra “Introducción al cálculo infinitesimal” de 1748. Fue conocida anteriormente como constante de Ludoph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes. El valor computado de esta constante ha sido conocido con diferentes precisiones a lo largo de la historia, de esta forma en una de las referencias documentadas más antiguas como la Biblia en la cual aparece de una forma indirecta asociada con el número natural 3 y en Mesopotamia los matemáticos la empleaban como 3 y una fracción añadida de 1/8. π es una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e, y es, tal vez por ello la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y amateur.
    o En realidad si es 3.1415 y más números, sólo se redondea a 3.1416
    o π (pi) es un número irracional aproximado que resulta entre el cociente de la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro. Se emplea frecuentemente en matemática, física e ingeniería. El valor numérico de π truncado a sus diez primeras posiciones decimales, es el siguiente:
    o \pi \approx 3{,}14159\;26535\;\;…

    La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego “περιφέρεια” (periferia) y “περίμετρον” (perímetro) de una circunferencia.
    o En 1652, William Oughtred utilizó para referirse al cociente entre la circunferencia y el diámetro, usando sin duda la letra griega π (pi) para indicar la circunferencia o periferia y la letra δ (delta) para indicar el diámetro.

    Sin embargo, el primero que usó la letra π en solitario para simbolizar 3,14159… fue otro Guillermo, William Jones, que lo introdujo en un texto de 1706.

    Nosotros no sabemos de donde sale ni quien invento la letra pi pero para mi parecer y según lo que he leído no lo inventó nadie. Es simplemente un número irracional constante. El valor de pi es el resultado de dividir dos parámetros medibles, el perímetro de la circunferencia para su diámetro.

    Números imaginarios
    Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a el nombre de i (por imaginario) y se propuso para ser despectivo, aunque son un concepto válido suponiendo un plano con ejes cartesianos en el que los reales se encuentran sobre el eje horizontal y los imaginarios sobre el eje vertical complejo. Cada número imaginario puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad imaginaria, con la propiedad:

    En campos de ingeniería eléctricos y relacionados, la unidad imaginaria es a menudo escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.
    Cada número complejo puede ser escrito únicamente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma:
    Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.
    Estos números extienden el conjunto de los números reales al conjunto de los números complejos.
    CHAOOOOOO.

    Comentario por Amparito — octubre 15, 2008 @ 12:02 pm

  8. LA CONSTANTE PI.
    Pi (Π π) es la decimosexta letra del alfabeto griego. Tiene un valor de 80 en el sistema de numeración griega.
    Pi tiene el valor 3.1416
    La letra mayúscula Π se usa como símbolo para:
    • En matemáticas, la operación producto.
    La letra minúscula π se usa como símbolo para:
    • La letra pi (π) se utiliza como símbolo de la Pedagogía.
    • En economía, beneficio, inflación.
    • En matemáticas, la constante pi es un número trascendental que expresa la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
    • En teoría de números, la función π(x) son los primos menores o iguales a x. (ver: Teorema de los números primos)
    • En física de partículas, π0, π+ y π- son tres formas de un pión.
    • En química, Propiedades coligativas, π representa la incógnita de presión osmótica
    NUMERO PI.
    • π (pi) es un número irracional, cociente entre la longitud de la circunferencia (perímetro) y la longitud de su diámetro. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:

    • La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego “περιφέρεια” (periferia) y “περίμετρον” (perímetro) de un círculo.1 Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones2 y popularizada por el matemático Leonhard Euler en su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» de 1748. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (no se debe confundir con el número de Arquímedes).
    • El valor de π ha sido conocido con distinta precisión a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Tal vez por ello sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La constancia de la razón de la circunferencia al diámetro no es válida en geometrías no euclídeas.

    Historia del número π.
    ORIGEN: La relación constante entre la longitud de una  Se indica con la letra circunferencia y su diámetro “d” o entre el área “S” de un círculo y el cuadrado de su radio “r”.
    (1)
    La búsqueda del mayor número de decimales del número π ha supuesto un esfuerzo constante de numerosos científicos a lo largo de la historia. Una de las referencias documentadas más antiguas al número pi se puede encontrar en un versículo poco conocido de la Biblia:
    Época egipcia.
    El uso del número π en las culturas antiguas se remonta al que hacía el escriba egipcio Ahmes en el año 1800 a. C., donde se emplea un valor de π afirmando que el área de un círculo es similar a la de un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9, es decir igual a los 8/9 del diámetro.
    Época griega
    El matemático griego Arquímedes (siglo III a. C.) fue capaz de determinar el número π entre el intervalo comprendido por 3 10/71, como valor mínimo y 3 1/7, como valor máximo. Con esta aproximación de Arquímedes se obtiene un valor con un error que oscila entre 0,024% y 0,040% sobre el valor real.
    En el siglo XV, el matemático persa Ghiyath al-Kashi fue capaz de calcular π con 9 dígitos empleando una base numérica sexagesimal, lo que equivale a una aproximación de 16 dígitos decimales:
    2π = 6,2831853071795865
    Época moderna (pre-computacional).
    Fue en el año 1706 cuando el galés William Jones afirmó «3,14159 andc. = π». Leonhard Euler adoptó el conocido símbolo en 1737 e instantáneamente se convirtió en una notación estándar hasta hoy en día.
    • En 1610 el matemático Ludolph van Ceulen calculó los 35 primeros decimales de π.
    • El matemático japonés Takebe empezó a calcular el número π en el año 1722 con el mismo método expuesto por Arquímedes, y fue ampliando el número de lados para polígonos circunscritos e inscritos hasta llegar a 1.024 lados. Este ingente trabajo consiguió que se determinara π con 41 decimales.
    • En 1789 el matemático de origen eslovaco Jurij Vega, mediante la fórmula de John Machin descubierta en 1706, fue el primero en averiguar los primeros 140 decimales de π, de los cuales 126 eran correctos; este récord se mantuvo durante 52 años, hasta que en 1841 William Rutherfordio calculó 208 decimales de los cuales 152 eran correctos.

    • El matemático aficionado de origen inglés William Shanks consumió cerca de 20 años de su vida calculando π con 707 decimales (evento acaecido en 1873). En el año 1944, D. F. Ferguson encontró un error en la posición decimal 528, a partir del cual todos los dígitos posteriores eran erróneos. En 1947, Ferguson recalculó π con 808 decimales con la ayuda de una calculadora mecánica.
    Época moderna (computacional).
    Desde el diseño de la primera computadora se empezaron a desarrollar programas para el cálculo del número π con la mayor cantidad de cifras posibles. De esta forma, en 1949 un ENIAC fue capaz de romper todos los récords del momento con 2037 lugares decimales (en 70 horas). Poco a poco se fueron sucediendo los ordenadores que batían récords, y de esta forma pocos años después (1954) un NORAC llegó a 3092 cifras. Durante casi toda la década de los años 1960 los IBM fueron batiendo récords, hasta que un IBM 7030 pudo llegar en 1966 a 250.000 cifras decimales (8 h y 23 min). Durante esta época se probaban las nuevas computadoras con algoritmos para la generación de series de números procedentes de π.
    Ya en la década de 2000, los ordenadores eran capaces de sacar cifras récord inmensamente grandes; en 2004 fueron capaces de sacar 1,351 billones de lugares decimales mediante el uso de una supercomputadora Hitachi, que llegó a trabajar sólo 500 horas para realizar el cálculo.
    En la época computacional del cálculo de π las cifras se han disparado, no sólo debido a la potencia de cálculo que estas máquinas son capaces de generar, sino también por el prestigio que conlleva para el constructor de la máquina el que su marca aparezca en la lista de los récords.
    Un número imaginario.
    Definiciones

    Un número imaginario i se define como:

    El conjunto de los números complejos es el conjunto de todos los números de la forma a + bi, donde a y b son números reales.
    Es un número cuyo cuadrado es negativo. Fue en el año 1777 cuando Leonard Euler le dio a el nombre de i (por imaginario) y se propuso para ser despectivo, aunque son un concepto válido suponiendo un plano con ejes cartesianos en el que los reales se encuentran sobre el eje horizontal y los imaginarios sobre el eje vertical complejo. Cada número imaginario puede ser escrito como ib. donde b es un número real e i es la unidad imaginaria, con la propiedad:

    En campos de ingeniería eléctricos y relacionados, la unidad imaginaria es a menudo escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.
    Cada número complejo puede ser escrito únicamente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma:

    Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.
    Espero que sea de mucho interés para quienes les ayude a resolver esos vacios, que a veces uno como persona se olvida, esto es en lo que he podido recalcarles de mi investigación de estos temas.
    Gracias por tomar en cuenta este trabajo.

    Comentario por cristina salas — octubre 15, 2008 @ 12:48 pm

  9. Hola a todos

    El(pi) π es un número irracional, cociente entre la longitud de la circunferencia (perímetro) y la longitud de su diámetro se lo emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería.
    El valor asignado a pi surgía de un círculo cuyo diámetro era un número entero y su longitud un número muy próximo a otro entero.

    Curiosidades del PI:

    Mnemotecnia (del griego mnéme, ‘memoria’, y techne, ‘técnica’), conjunto de técnicas destinadas a mejorar la memoria.

    En Matemáticas, el valor de pi con 10 decimales, difícil de retener, podrá memorizarse más rápido a través de una frase: “Eva y Pepe y Pablo averiguan el camino corto del valle” (el número de letras de cada palabra indica la cifra: 3,1415926535).

    Comentario por Magaly Quizhpe — octubre 15, 2008 @ 8:54 pm

  10. !!!!!Hola compañeros!!!!!

    NUMEROS IMAGINARIOS

    Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo, el término fue acuñado por René Descartes en el siglo XVII

    Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo, fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a el nombre de i (por imaginario) y se propuso para ser despectivo, aunque son un concepto válido suponiendo un plano con ejes cartesianos en el que los reales se encuentran sobre el eje horizontal y los imaginarios sobre el eje vertical complejo.

    Comentario por Magaly Quizhpe — octubre 15, 2008 @ 9:11 pm

  11. Constante PI ( ): Es una letra griega que proviene de la inicial “περιφέρεια” (periferia) y “περίμετρον” (perímetro) de un círculo; fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones y popularizada por su colega Leonhard Euler; esta constante es un número irracional, cociente entre la longitud de la circunferencia (perímetro) y la longitud de su diámetro y se emplea normalmente en matemáticas, física e ingeniería.
    Una constante o número imaginario: es un número cuyo cuadrado es negativo, puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad imaginaria; estos números extienden el conjunto de los números reales al conjunto de los números complejos , en conclusión un número imaginario se halla entre el ser y la nada.

    Comentario por Mayra Yaguana — octubre 16, 2008 @ 9:11 am

  12. Constante PI
    El número pi es la constante que relaciona el perímetro de una circunferencia con la amplitud de su diámetro: Π = L/D.
    Este no es un número exacto sino que es de los llamados irracionales, ya que tiene infinitas cifras decimales.

    Pi, como concepto, presente en Egipto
    Ya en la antigüedad, se insinuó que todos los círculos conservaban una estrecha dependencia entre el contorno y su radio pero tan sólo desde el siglo XVII la correlación se convirtió en un dígito y fue identificado con el nombre “Pi” (de periphereia, denominación que los griegos daban al perímetro de un círculo).
    Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones y popularizada por el matemático Leonard Euler en su obra “Introducción al cálculo infinitesimal” de 1748. Fue conocida anteriormente como constante de Ludoph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (No se debe confundir con el número de Arquímedes).
    El valor computado de esta constante ha sido conocido con diferentes precisiones en el curso de la historia, de esta forma en una de las referencias documentadas más antiguas como la Biblia aparece de forma indirecta asociada con el número natural 3 y en Mesopotamia los matemáticos la empleaban como 3 y una fracción añadida de 1/8.
    Pi (π) es una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e, y es, tal vez por ello la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados.
    Un coetáneo de Sócrates, Antiphon, inscribió en el círculo un cuadrado, luego un octógono e ideó multiplicar la cantidad de lados hasta el momento en que el polígono obtenido ajustara casi con el anillo.

    Euclides precisa en sus Elementos los pasos al límite necesarios e investiga un sistema consistente en doblar, al igual que Antiphon, el número de lados de los polígonos regulares y en demostrar la convergencia del procedimiento.
    Arquímedes reúne y amplía estos resultados. Prueba que el área de un círculo es la mitad del producto de su radio por la circunferencia y que la relación del perímetro al diámetro está comprendida entre 3,14084 y 3,14285.
    En el siglo II d. de C., Ptolomeo utiliza polígonos de hasta 720 lados y una circunferencia de 60 unidades de radio para aproximarse un poco más, y da el valor 3 + 8/60 + 30/3600 = 377/120 = 3’14166…
    Conforme se han desarrollado las matemáticas, en sus diversas ramas, álgebra, cálculo, etc., se han ido construyendo distintos artificios que permiten afinar cada vez más su valor.

    Ptolomeo
    Uno de los casos más curiosos de la historia fue el del matemático inglés William Shanks, quien luego de un trabajo que le demandó casi veinte años, obtuvo 707 decimales en 1853. Desgraciadamente, Shanks incurrió en un error en el 528º decimal, y a partir de éste están todos mal.
    Desde esa fecha hacia delante, se han consignado los siguientes resultados en la búsqueda de un valor para Pi:
    Ferguson, en 1947, obtuvo un valor con 808 decimales.
    Usando el computador Pegasus, en 1597, se logró una cifra con 7.840 decimales.
    Más tarde, en 1961, usando un computador IBM 7090, se logró llegar a 100.000 decimales.
    Luego, en 1967, con un CDC 6600, se llegó a 500.000 decimales.
    En 1987, con un Cray-2, se obtuvo una cifra con 100.000.000 decimales para Pi..
    Y finalmente, en 1995, en la Universidad de Tokio, se llegó a un valor de pi de 3,14… y se le agregan 4.294.960.000 de decimales.
    Letra griega pi. Símbolo adoptado inicialmente en 1706 por William Jones y popularizado por Euler.
    El valor numérico de π truncado a sus diez primeras posiciones decimales, es el siguiente:

    Números Imaginarios
    Un número que cuando se eleva al cuadrado da como resultado un número negativo.

    Ahora, si se eleva al cuadrado cualquier número real siempre se obtendrá un número positivo, o cero, como resultado. Por ejemplo 2×2=4, y (-2) × (-2)=4 también.

    Entonces ¿cómo podemos elevar al cuadrado un número y obtener un resultado negativo? Porque nos “imaginamos” que podemos? y resulta que tales números que pueden parecer imposible, son en realidad útiles y pueden resolver problemas reales.

    La “unidad” de números imaginarios (lo mismo que es “1” para los números reales)es √(-1) (la raíz cuadrada de menos uno, y su símbolo es i, o j.

    Comentario por Magali Pucha — octubre 16, 2008 @ 9:37 am

  13. ¿QUÉ ES (PI)?
    Es utilizado en matemáticas como símbolo del cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

    HISTORIA
    *El matemático griego Arquímedes afirmó correctamente que el valor de Pi se encuentra entre:
    3+1/7= 3,14285714285714285714285714285714 y
    3+10/71=3,14084507042253521126760563380282

    *El símbolo (PI)fue usado por primera vez para representar esta razón en 1706 por el matemático inglés William Jones

    *Pero su uso no se generalizó hasta su adopción por el matemático suizo Leonhard Euler en 1737.

    *En 1882 el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró que (PI) es un número trascendente —esto es, no puede ser la raíz de una ecuación polinómica con coeficientes racionales. De esta manera, Lindemann fue capaz de demostrar la imposibilidad de la cuadratura del círculo algebraicamente o usando la regla y el compás.

    PORQUE TIENE ESE VALOR
    Porque la relación (o cociente) entre la longitud de una circunferencia y la de su diámetro no es exacta, ni siquiera es un número racional, sino es un numero irracional.

    PARA OBTENER (PI)
    Se mide la longitud de una circunferencia
    Se calcula el diámetro
    Se realiza la división
    Y se observa el cociente
    El cociente da un número similar al valor de (PI)

    NUMERO IMAGINARIO
    Es un número, que se crea al extraer la raíz cuadrada un número negativo.

    Siempre que se llega a encontrar una respuesta de tipo imaginario se debe agregar la letra (i) junto al número al lado derecho, de este modo sabremos que este valor no existe, es imaginario.

    QUE ES UN NUMERO COMPLEJO
    Un número complejo, es una entidad matemática que viene dada por un par de números reales, el primero x se denomina la parte real y al segundo y la parte imaginaria.

    Comentario por Luis Quizhpe Vire — octubre 16, 2008 @ 10:09 am

  14. Historia de la Constante PI

    Que es Pi.- letra griega () usada en matemáticas como el símbolo del cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. El matemático griego Arquímedes afirmó correctamente que el valor de Pi se encuentra entre 3 +  y 3 + .
    Historia.- el símbolo  fue usado por primera vez para representar esta razón en 1706 por el matemático inglés William Jones, pero su uso no se generalizó hasta su adopción por el matemático suizo Leonhard Euler en 1737. En 1882 el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró que  es un número trascendente — esto es, no puede ser la raíz de una ecuación polinómica con coeficientes racionales. De esta manera, Lindemann fue capaz de demostrar la imposibilidad de la cuadratura del círculo algebraicamente o usando la regla y el compás.
    Aunque  es un número irracional, es decir, tiene un número infinito de cifras decimales, se puede calcular con la exactitud deseada utilizando series.  ha sido calculada con cien millones de cifras decimales utilizando ordenadores, aunque esta precisión carece de utilidad práctica.

    LOS NÚMEROS IMAGINARIOS

    El producto de un número real por sí mismo es siempre 0 o positivo, por lo que la ecuación x2 = -1 no tiene solución en el sistema de los números reales. Si se quiere dar un valor a la x, tal que x = , éste no puede ser un valor real, no ya en sentido matemático sino tampoco en sentido técnico. Un nuevo conjunto de números (diferente del de los números reales), el de los números imaginarios, se usa para este fin. El símbolo i representa la unidad de los números imaginarios y equivale a . Estos números permiten encontrar, por ejemplo, la solución de la ecuación x=√(-9) , que se puede escribir como:
    x=√(-9).√(-1)
    x = 3 × i o x = 3i
    Los números bi, b ≠ 0, se llaman imaginarios puros.
    Un número imaginario se obtiene al sumar un número real y un número imaginario puro.

    SUCECIÓN DE FIBONACCI.

    Una sucesión se representa como a1, a2…, an… Las a son números o cantidades, distintas entre sí o no; a1 es el primer término, a2 el segundo, y así sucesivamente. Si el último término aparece en la expresión, es una sucesión finita; si no aparece, es infinita. Una sucesión es definida o establecida si y sólo si existe una regla dada que determina el término n-ésimo correspondiente a un n entero positivo; esta regla puede estar dada por la fórmula del término n-ésimo. Por ejemplo, todos los números enteros positivos, en su orden natural, forman una sucesión infinita definida por la fórmula an = n. La fórmula an = n2 define la sucesión 1, 4, 9, 16… La regla de empezar con 0 y 1 y calcular cada término como la suma de los dos términos anteriores define la sucesión 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…, que se conoce como sucesión de Fibonacci.

    Comentario por Darwin Ordóñez — octubre 16, 2008 @ 10:26 am

  15. Historia de la constante pi:

    ∏(Pi) es un constante irracional, la constante matemática pi (3.14159…), ese misterioso número que en el colegio se nos aparece hasta en la sopa, describe la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Fue bautizada así por los griegos ya que pi es la primera letra de la palabra perímetro de un círculo en griego y con ese nombre ha llegado hasta nosotros (aunque es conocida desde tiempos más remotos). Muy probablemente pi sea el número más famoso y estudiado en la historia de las matemáticas, física e ingenierías.
    Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones pero su uso no se generalizó hasta su adopción por el matemático suizo Leonhard Euler en 1737. En su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» y de 1748. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o también como constante de Arquímedes.
    Es la constante que más pasiones ha destacado entre los matemáticos profesionales y aficionados. El matemático griego Arquímedes afirmó correctamente que el valor de Pi se encuentra entre 3 +1/7 y 3 + 10/71. Efectivamente, se tomaba como referencia una circunferencia de diámetro igual a 7 y longitud muy próxima a 22.
    22/7 = 3,1428571
    Como posdata, aquí tienes una regla mnemotécnica para la expansión decimal de π. Cada dígito es el número de letras de la palabra correspondiente.
    How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard…:

    Traducción de la regla:
    [Cómo deseo beber, alcohol por supuesto, tras las pesadas lecciones sobre la mecánica cuántica. Toda su geometría, Señor Planck, es bastante dura…]
    El valor de pi es: 3.14159265358979323846264…

    Número Imaginario
    A este número o constante imaginaria se lo identifica con la letra i, es un número cuyo cuadrado es negativo. Fue definido en el año 1777 por Leonhard Euler el nombre de i es por imagimario. Cada número imaginario puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad imaginaria, con la propiedad:

    En campos de ingeniería eléctricos y relacionados, la unidad imaginaria es a menudo escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i. Estos números extienden el conjunto de los números reales y al conjunto de los números complejos .
    Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que es una especie de anfibio entre el ser y la nada. Se denomina número imaginario puro a aquel que está compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que a = 0. Tomando en cuenta que , se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, definido como

    De donde se deduce inmediatamente que,

    Serie fibonacci:
    Leonardo Pisan, más conocido como Fibonacci, nació en Pisa (Italia) en 1170 D.C. Fibonacci era un miembro de la familia de Bonacci y viajó alrededor del mediterráneo cuando era un muchacho con su padre que tuvo un cargo diplomático.

    Su interés perspicaz por las matemáticas y su exposición a otras culturas le permitió a Fibonacci desarrollar ampliamente su virtud matemática resolviendo una amplia variedad de problemas matemáticos.

    Fibonacci probablemente se conoce mejor por descubrir la sucesión de Fibonacci, una sucesión de números que existe en la naturaleza. La serie de Fibonacci es la siguiente:

    1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,…

    El próximo número en la serie simplemente es la suma de los dos números anteriores. El número de arranque es 1. El segundo número se calculó de la suma 0+1 (ya que no hay ningún número antes del primer 1) y es de nuevo 1. El próximo número es 1+1 = 2, luego 1+2 = 3, luego 2+3 = 5 y 5+3 = 8, etc.
    La ley de recurrencia es:
    an = an-1 + an-2
    Además, las series de Fibonacci cumplen otras curiosas propiedades, como por ejemplo, que la suma den términos es igual al término n+2 menos uno:
    a1 + a2 + a3 + a4 + ….. + an-1 + an= an+2 – 1

    Comentario por Juan Pablo Moncayo — octubre 16, 2008 @ 12:24 pm

  16. hey… que tal saludos ING. aqui esta mi comentario de PI y los mimeros imaginarios
    Pi π
    π (pi) es un número irracional, cociente entre la longitud de la circunferencia (perímetro) y la longitud de su diámetro. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:

    La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego “περιφέρεια” (periferia) y “περίμετρον” (perímetro) de un círculo.[1] Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones[2] y popularizada por el matemático Leonhard Euler en su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» de 1748. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (no se debe confundir con el número de Arquímedes).
    El valor de π ha sido conocido con distinta precisión a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Tal vez por ello sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La constancia de la razón de la circunferencia al diámetro no es válida en geometrías no elucídelas.
    Pi (π) es un numero irracional este es un número que aparece dentro de las matemáticas que es truncado porque siempre dentro de los dígitos se lo reduce.
    Por ejemplo:
    Comúnmente los profesores de matemática siempre lo dicen cual es el valor de pi((π) y particularmente todos empiezan 3,1415926. Bueno y ustedes ya saben lo que sigue…..!!!! Es valor Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería es un valor muy importante que debemos conocerlo mucho mas a fondo esto es todo lo que puedo decir de (PI)

    Números imaginarios

    Número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a el nombre de i (por imaginario) y se propuso para ser despectivo, aunque son un concepto válido suponiendo un plano con ejes cartesianos en el que los reales se encuentran sobre el eje horizontal y los imaginarios sobre el eje vertical complejo. Cada número imaginario puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad imaginaria, con la propiedad:

    En campos de ingeniería eléctricos y relacionados, la unidad imaginaria es a menudo escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.
    Cada número complejo puede ser escrito únicamente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma:

    Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.
    Estos números extienden el conjunto de los números reales al conjunto de los números complejos .
    Bueno los números imaginarios nos números negativos con los se pueden hacer diferentes operaciones tanto suma, resta multiplicación y división también son muy importantes dentro del mundo de las matemáticas y En campos de ingeniería eléctricos y relacionados, la unidad imaginaria y estos a su vez se los pueden representar con letras. Y bueno es importante saber todo esto porque siempre se nos presentaran este tipo de números pero en mi caso ya sabré que hacer

    Comentario por José Luis Cuenca Merizalde — octubre 16, 2008 @ 2:51 pm

  17. ¿QUE ES PI?
    Los matemáticos llaman PI al resultado de lo que mide la circunferencia de un circulo, en lo que mide su diámetro, este valor tiene un papel fundamental en las matemáticas.
    Ejemplo:
    (Puedes medir la circunferencia colocando un cordón sobre ella y luego midiendo el cordón.) ¿Tu resultado es parecido a 3.1416? Hazlo cuantas veces quieras: el resultado siempre se parece a 3.1416. Es decir, en ambos experimentos tenemos que el diámetro cabe tres veces en la circunferencia y sobra un poquito.
    NUMEROS IMAGINARIOS.
    Nada parece más apartado de la realidad que “inventar” un número, llamado “i”, que es la raíz cuadrada de -1. En un mundo imaginario, ese número sería de tal forma que podríamos construir con él un cuadrado de superficie negativa e igual a -1. El producto de cualquier número real por i da como resultado unos números que llamamos imaginarios que, como veremos, no son menos reales que los llamados números “reales” a los que estamos acostumbrados. La suma de un número real y otro imaginario se llama número complejo, por ejemplo el número: 7+ 3i. Estos números suelen representarse en el plano de forma que los reales ocupan el eje horizontal de las x, mientras que los imaginarios ocupan el eje vertical de las y.
    En resumidas un numero imaginario son todos aquellos números negativos que se los puede utilizar en la suma, resta, división, multiplicación; ejemplo al hacer una operación con los números reales nos dan los números complejos, y su resultado seria en nada diferente a los reales.

    Comentario por pablopaz — octubre 16, 2008 @ 3:03 pm

  18. HISTORIA DE PI

    Desde tiempos ancestrales, el hombre en su afán de investigar la naturaleza que lo rodea descubrió un número muy especial, que al avanzar el tiempo, las diferentes civilizaciones lo tuvieron muy presente, algunos con un valor muy definido, otros lo redondearon para simplificarlo. La constante matemática pi (3.14159…), describe la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Fue bautizada así por lo griegos ya que pi es la primera letra de la palabra perímetro en griego y con ese nombre ha llegado hasta nosotros.
    Muy probablemente pi sea el número más famoso y estudiado en la historia de las matemáticas.

    NUMEROS IMAGINARIOS

    Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a el nombre de i (por imaginario) y se propuso para ser despectivo, aunque son un concepto válido suponiendo un plano con ejes cartesianos en el que los reales se encuentran sobre el eje horizontal y los imaginarios sobre el eje vertical complejo. Cada número imaginario puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad imaginaria.

    Saludos a Todos………Letty….

    Comentario por Letty Marilú Rivera — octubre 17, 2008 @ 8:08 am

  19. HISTORIA DE PI
    π (pi) es un número irracional, cociente entre la longitud de la circunferencia (perímetro) y la longitud de su diámetro. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente: π=3.1415926535897932384…
    La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego “περιφέρεια” (periferia) y “περίμετρον” (perímetro) de un círculo.1 Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones2 y popularizada por el matemático Leonhard Euler en 1748. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (no se debe confundir con el número de Arquímedes).

    Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a la raiz cuadrada de un número negativo el nombre de i (por imaginario) y se propuso para ser despectivo, aunque son un concepto válido suponiendo un plano con ejes cartesianos en el que los reales se encuentran sobre el eje horizontal y los imaginarios sobre el eje vertical complejo. Cada número imaginario puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad imaginaria, con la propiedad: i2=-1
    Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.

    Comentario por Diana Suquilanda — octubre 17, 2008 @ 9:18 am

  20. π (pi) es un número irracional, cociente entre la longitud de la circunferencia (perímetro) y la longitud de su diámetro. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:
    \pi \approx 3{,}1415926535897932384…

    como podemos darnos cuenta pi es un numero infinito

    El valor de π ha sido conocido con distinta precisión a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Tal vez por ello sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La constancia de la razón de la circunferencia al diámetro no es válida en geometrías no euclídeas.

    he aqui un ejemplo de la constante pi

    Numeros Irracionales.

    En matemáticas, un número irracional es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser expresado como una fracción \frac{m}{n}, donde m y n son enteros, con n diferente de cero y donde esta fracción es irreducible.

    ej.

    Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a \sqrt{-1} el nombre de i (por imaginario) y se propuso para ser despectivo, aunque son un concepto válido suponiendo un plano con ejes cartesianos en el que los reales se encuentran sobre el eje horizontal y los imaginarios sobre el eje vertical complejo. Cada número imaginario puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad imaginaria.

    Son numeros que no se los puede describir

    Listo Ing, hoy nos refuersa la clase sobre pi y los num imaginarios suert

    Comentario por Diego Saavedra — octubre 17, 2008 @ 10:46 am

  21. PI:
    El número pi es la constante que relaciona el perímetro de una circunferencia con la amplitud de su diámetro Π = L/D, no es un número exacto sino que son irracionales, porque tiene infinitas cifras decimales. En la antigüedad, se manifestó que todos los círculos conservaban una estrecha dependencia entre el contorno y su radio pero tan sólo desde el siglo XVII la correlación se convirtió en un dígito y fue identificado con el nombre “Pi” (de periphereia, denominación que los griegos daban al perímetro de un círculo),
    Los números imaginarios:
    Se refieren, cuando se eleva al cuadrado y como resultado da un número negativo. Existen ecuaciones que no tienen solución en el conjunto de números reales, por ejemplo:
    X2+9=0; no tienen solución en R, ya que no existe ningún numero real que elevado al cuadrado dé -9. Para solucionar raíces cuadradas de números negativos, es preciso ampliar el conjunto de los números reales R, construyendo un nuevo conjunto C, de manera que R sea un subconjunto de C y de modo que en ese nuevo conjunto se conserven las propiedades de operaciones y todos los números tengan una raíz cuadrada. Para ello se define la unidad imaginaria.Unidad imaginaria i, es aquel numero que elevado al cuadrado da ; de los números reales R, construyendo

    Comentario por Maria Elizabeth — octubre 17, 2008 @ 10:47 am

  22. PI:
    El número pi es la constante que relaciona el perímetro de una circunferencia con la amplitud de su diámetro Π = L/D, no es un número exacto sino que son irracionales, porque tiene infinitas cifras decimales. En la antigüedad, se manifestó que todos los círculos conservaban una estrecha dependencia entre el contorno y su radio pero tan sólo desde el siglo XVII la correlación se convirtió en un dígito y fue identificado con el nombre “Pi” (de periphereia, denominación que los griegos daban al perímetro de un círculo),
    Los números imaginarios:
    Se refieren, cuando se eleva al cuadrado y como resultado da un número negativo. Existen ecuaciones que no tienen solución en el conjunto de números reales, por ejemplo:
    X2+9=0; no tienen solución en R, ya que no existe ningún numero real que elevado al cuadrado dé -9. Para solucionar raíces cuadradas de números negativos, es preciso ampliar el conjunto de los números reales R, construyendo un nuevo conjunto C, de manera que R sea un subconjunto de C y de modo que en ese nuevo conjunto se conserven las propiedades de operaciones y todos los números tengan una raíz cuadrada. Para ello se define la unidad imaginaria. Unidad imaginaria i, es aquel numero que elevado al cuadrado

    Comentario por Maria Elizabeth — octubre 17, 2008 @ 10:53 am

  23. HISTORIA DE LA CONSTANTE 3.1416???????????

    AQUI EN ESTE LINK ENCONTRARAN VIDEOS SOBRE LA HISTORIA DE PI CHEKEN
    http://www.youtube.com/results?search_query=la+historia+de+pi&search_type=&aq=f

    DE ESTA PAGINA CONSULTE LA HISTORIA
    http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/nombres/pi_historia/pi_hist.htm

    Bueno cuando cursaba por las aulas de mi escuela y de le colegio los maestros me supieron enseñar que la constante pi era un numero irracional que tenia un valor aproximado al de el titulo pero jamas me supieron decir la historia del mismo y por que habia surgido esta constante es por eso que les consulte una pequeña historia sobre la historia de pi

    Ya para el siglo V a.C. en Grecia, Antifón y Brisón de Heraclea se dieron cuenta de que entre más lados tenían los polígonos, más se parecían a los círculos. Así que comenzaron trazando un hexágono, luego duplicaron el número de lados para obtener un dodecágono, volvieron a duplicar el número de lados para conseguir un polígono de veinticuatro lados, y así sucesivamente.

    Con esta idea y un polígono de 96 lados Arquímedes se dio cuenta de que el valor de se encontraba entre estos dos números:

    < <

    Esto quiere decir que es mayor que , pero menor que . Si hacemos las divisiones, podemos ver que el valor de está entre 3.1408450… y 3.1428571 …

    Fíjate que al final de estos dos últimos números hay puntos suspensivos. Estos puntos se ponen cuando los decimales que tiene un número son muchos y no vamos a escribirlos todos, o cuando, como en el caso de , la cantidad de decimales es infinita.

    A principios de siglo II de nuestra era, Ch’ang Hong, el ministro del emperador chino An-ti, dedicaba sus ratos libres a la astronomía . Justo antes de morir afirmó que

    =, o bien, = 3.1622776 …

    En el año 263, sin haber conocido los trabajos de Antifón, Brisón y Arquímedes, Liu Hui trabajó con un polígono de 192 lados y obtuvo que era mayor que 3.14024 , pero menor que 3.142704 . Y luego, con un polígono de 3,072 lados llegó a concluir que era igual a 3.1416 .

    Por su parte, el astrónomo Tsu Ch’ung-chih y su hijo Tsu Keng-chih estudiaron polígonos de hasta 24,576 lados y lograron una aproximación de p que no sería superada en más de mil años:

    = , o bien, = 3.14159265 …

    Alrededor del año 530 el matemático Aryabhata calculó el perímetro de un polígono de 384 lados para llegar a concluir que = ,o sea, 3.1414009 …

    Comentario por JUNNIOR JARAMILLO — octubre 17, 2008 @ 11:35 am

  24. HISTORIA DE PI
    La constante matemática pi (3.14159…), fue bautizada así por lo griegos ya que pi es la primera letra de la palabra perímetro en griego y con ese nombre ha llegado hasta nosotros. Muy probablemente pi sea el número más famoso y estudiado en la historia de las matemáticas.

    El valor de π ha sido conocido con distinta precisión a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Tal vez por ello sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La constancia de la razón de la circunferencia al diámetro no es válida en geometrías no euclídeas.

    El primer cálculo teórico parece haber sido llevado a cabo por Arquímedes sabía, cosa que hoy desconoce mucha gente, que π no es igual a 22 / 7, y no hizo ninguna afirmación de haber descubierto el valor exacto. Si tomamos su mejor aproximación como la media de estos dos límites obtenemos 3,1418, un error de aproximadamente 0,0002.
    π (pi) es un número irracional, cociente entre la longitud de la circunferencia (perímetro) y la longitud de su diámetro. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:

    Lista de números – Números Irracionales
    ζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δ

    Binario 11,00100100001111110110…
    Decimal 3,14159265358979323846…
    Hexadecimal 3,243F6A8885A308D31319…

    Definiciones
    Es Euclides el primero en demostrar que la relación entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia es constante. Existen, no obstante, diversas definiciones más del número π; entre las más famosas se encuentran:
    Es una proporción constante entre el perímetro de una circunferencia con la amplitud de su diámetro.
    Es el área de un círculo de radio unidad del plano euclídeo.
    Es el menor número real x positivo tal que sen(x) = 0.

    Fórmulas que contienen a π …
    En geometría
    Circunferencia de radio r: C = 2 π r
    Área del círculo de radio r: A = π r²
    Área de la elipse con semiejes a y b: A = π ab
    Área del cilindro: 2 πr (r+h)
    Área de la esfera: 4 π r²
    Volumen de la esfera de radio r: V = (4/3) π r³
    Ángulos: 180 grados son equivalentes a π radianes
    Volumen de un cilindro de radio r y altura h: V = π r² h
    En probabilidad
    La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es: 6/π²
    Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es: (π-2)/4
    El número medio de formas de escribir un entero positivo como suma de dos cuadrados perfectos es π/4 (el orden es relevante).
    Aguja de Buffon: si lanzamos al azar una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una línea es: Lπ/2D
    NUMEROS COMPLEJOS.
    El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano GIROLAMO CARDANO (1501–11576) quien encontró la formula para resolver las ecuaciones cúbicas. El termino “numero complejo” fue introducido por el gran matemático alemán CARL FRIEDRICH GAUSS (1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no eclidiana, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.
    Una expresión de la forma a + b i, en la que a y b son dos números reales cualesquiera e i es la unidad imaginaria, se denomina número complejo.
    Los números complejos surgen al resolver ecuaciones algebraicas en las que hay que calcular raíces cuadradas de números negativos.

    Algo parecido les ocurrió a los pitagóricos al intentar medir la diagonal de un cuadrado de lado 1, se dieron cuenta que no había ningún número (sólo conocían los números naturales y fraccionarios) que midiese la diagonal. Esto dio origen a los números reales.
    Los números naturales, enteros, fraccionarios y reales se pueden representar como puntos de una recta (la recta de los números reales). Los números complejos podemos imaginarlos como puntos de un plano (el plano de los números complejos). En ese plano podemos trazar unos ejes perpendiculares que nos sirvan de referencia para localizar los puntos del plano.

    Lo habitual es utilizar las coordenadas del punto (x,y). Cuando representamos un número complejo de esta forma decimos que está en forma cartesiana. Esta interpretación de los números complejos (considerarlos puntos en un plano) se debe a Gauss y a Hamilton.

    También se suele utilizar un vector para localizar el punto. En efecto, un vector con principio en el origen de coordenadas y fin en el punto, identifica el punto de una manera inequívoca. Ahora bien, ese vector lo podemos descomponer en dos vectores: un vector con principio en el origen de coordenadas y fin el valor de la abscisa del punto (x,y), y otro vector con principio el origen de coordenadas y fin la ordenada del punto (x,y). Entonces el punto se representaría como una suma de vectores a + b. Ahora bien, si definimos unos vectores unitarios sobre el eje X y sobre el eje Y, podemos representar el número de esta forma xr + yi. Los vectores r e i tienen módulo 1, además el vector i se define cumpliendo esta condición: i2 = -1. Cómo r tiene módulo 1 y sus potencias también son 1, no se escribe, quedando por lo tanto el número en la forma x + yi. Esta forma de representar un número complejo se llama forma binaria.

    Una última forma de localizar el punto es dando la distancia (que llamaremos r) desde el punto al origen de coordenadas (medido sobre el segmento que une los dos puntos) y el ángulo (que llamaremos a ) que forma el segmento con el eje X. En este caso, se puede representar la posición del punto calculando las coordenadas (x = rcosa , y = rsena ), esta forma se llama forma trigonométrica.

    Comentario por Julio — octubre 17, 2008 @ 12:12 pm

  25. Universidad Nacional de Loja
    Alumno: Jorge Cuenca
    Tema: que es un Pi “Л”
    El Pi lo invento el jeque árabe Sheik yerbouti que estaba aburrido y mientras miraba círculos se le ocurrió una forma de molestar la vida de las personas en el futuro (y, definitivamente, lo logro). Apenas tuvo la idea de visualizar el número Pi, la cantidad inconmensurable de números se le agolpó en la cabeza, provocándole una muerte súbita. Antes de morir, se le ocurrió decir que el área de un círculo era el radio al cuadrado por Pi, que como ya se dijo es incalculable, al menos que seas un matemático o físico, cosa que sería muy deprimente.
    Letra griega pi. Símbolo adoptado inicialmente en 1706 por William Jones y popularizado por Euler.
    Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones
    El π (pi) es un número irracional, cociente entre la longitud de la circunferencia Que se emplea frecuentemente en
     matemáticas,
     física e
     ingeniería.
    El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:
    π 3,1415926535897932384

    La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego “περιφέρεια” (periferia) y “περίμετρον” (perímetro) de un círculo.
    Fórmulas que contienen a π
    En geometría.
    • Circunferencia de radio r: C = 2 π r
    • Área del circulo de radio r: A = π r²
    • Área de la con semiejes a y b: A = π ab
    • Área del cilindro, eclipse 2 π r (r+h)
    • Área de la esfera. 4 π r²
    • Volumen de la esfera de radio r: V = (4/3) π r³
    • Ángulos. 180 grados son equivalentes a π radianes
    • Volumen de un cilindro de radio r y altura h: V = π r² h

    En probabilidad
    • La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es: 6/π²
    • El Pipilin fue el primer numero surreal en existir, por eso los otros numerosa sintieron mucha envidia; excepto por el 8 que por esos tiempos tenia muy buena fama.
    Poco o mucho sabemos acerca de este singular número Pi o Phi . Lo cierto es que si nos adentramos un poco en su estudio descubriremos un apasionante mundo de casualidades o coincidencias en muchas de las cosas que nos rodean. Quizás únicamente sepamos que Pi es equivalente a pi = 3,1416 Quizás seamos algo más avanzados y sepamos que lo del “6” es únicamente un redondeo, y que el número, es algo más…

    Comentario por Jorge Cuenca — octubre 17, 2008 @ 12:22 pm

  26. Hola:ingeniero y compañeros (as)

    Pi (Π π) es la decimosexta letra del alfabeto griego. Tiene un valor de 80 en el sistema de numeración griega.
    La letra mayúscula Π se usa como símbolo para:
     En matemáticas, la operación producto.
    La letra minúscula π se usa como símbolo para:
     La letra pi (π) se utiliza como símbolo de la Pedagogía.
     En economía, beneficio, inflación.
     En matemáticas, la constante pi es un número trascendental que expresa la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
     En teoría de números, la función π(x) son los primos menores o iguales a x. (ver: Teorema de los números primos)
     En física de partículas, π0, π+ y π- son tres formas de un pión.
     En química, Propiedades coligativas, π representa la incógnita de presión osmótica

    LA HISTORIA DEL Π
     En la historia larga del &pi del número;, ha habido muchas torceduras y vueltas, muchas inconsistencias que reflejan la condición de la raza humana en su totalidad. Con cada período principal de la historia del mundo y en cada área regional, el estado del pensamiento intelectual, el estado de las matemáticas, y por lo tanto el estado del π, ha sido dictado por las mismas fuerzas socioeconómicas y geográficas que cada otro aspecto de la civilización. Lo que sigue es una breve historia, organizada por período y la región, del desarrollo de nuestra comprensión del &pi del número;.
     En épocas antiguas, π fue descubierto independientemente por las primeras civilizaciones para comenzar agricultura. Su nuevo sedentario vida estilo primero liberar encima tiempo para matemático pondering, y necesidad para permanente abrigo hacer necesario desarrollo básico ingeniería habilidad, que en mucho caso requerir uno conocimiento relación entre cuadrado y círculo (generalmente satisfacer por encontrar uno razonable aproximación π). Aunque no hay expedientes el sobrevivir de matemáticos individuales de este período, los historiadores saben hoy los valores usados por algunas culturas antiguas. Aquí está un muestreo de algunas culturas y de los valores que utilizaron: Babilónico – 3 1/8, egipcios – (16/9)^2, chinos – 3, hebreos – 3 (implicado en la biblia, reyes de I vii, 23).
     El primer expediente de un matemático individual que toma en el problema del π (a menudo llamar ” ajustar círculo, ” y implicar búsqueda para uno manera para limpio relacionar o área o circunferencia uno círculo ése uno cuadrado) ocurrir en antiguo Grecia en 400’s B.C. (este tentativa ser hacer por Anaxagoras . Basado en este hecho, no está sorprendiendo que la cultura griega era la primera a cavar verdaderamente en las posibilidades de matemáticas abstractas. parte griego cultura centrar en Atenas hacer grande salto en área geometría, primero rama matemática para ser cuidadoso explorar. Antiphon filósofo ateniense, primero indicó el principio del agotamiento (tecleo en Antiphon para más Info). Hippias de Elis creó una curva llamada el quadratrix, que permitió realmente ajustar teórico del círculo, aunque no era práctico.
     En el período griego atrasado (300’s-200’s B.C.), después de que Alexander el grande hubiera separado la cultura griega de las fronteras occidentales de la India al valle del Nilo de Egipto, Alexandría, Egipto se convirtió en el centro intelectual del mundo. Entre los muchos eruditos que trabajaron en la universidad allí, en gran medida el más influyente a la historia del π era Euclid Con publicar de elementos él proporcionó a matemáticos futuros incontables de las herramientas con las cuales atacar el π problema. El otro gran pensador de este tiempo, Archimedes estudiado en Alexandría pero vivido su vida en la isla de Sicilia. Era Archimedes que aproximó su valor del π a alrededor de 22/7, que sigue siendo un valor común hoy.

    NÚMERO IMAGINARIO

    Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a el nombre de i (por imaginario) y se propuso para ser despectivo, aunque son un concepto válido suponiendo un plano con ejes cartesianos en el que los reales se encuentran sobre el eje horizontal y los imaginarios sobre el eje vertical complejo. Cada número imaginario puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad imaginaria, con la propiedad:

    http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80
    http://library.thinkquest.org/C0110195/history/history_sp.html
    http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_imaginario

    Comentario por GlendaToro — octubre 17, 2008 @ 12:24 pm

  27. CPMENTARIO DE PI
    Entre los números célebres,  es el más célebre de todos, éste interviene en la matemática elemental en todas las cuestiones de medidas relativas a círculos, esferas, conos y cilindros, etc.

     está ligado con dos problemas fundamentales:

    Dado el radio de una circunferencia, construir un segmento de longitud “l”, (problema de rectificación de la circunferencia).

    Dado el radio de una círculo, construir un cuadrado equivalente al círculo (problema de la cuadratura del círculo).

    De estos dos problemas el más célebre es el segundo: por su cuadrimilenaria antigüedad, por la dificultad que ha presentado su solución a pesar de la sencillez de su enunciado, por los innumerables intentos infructuosos que fueron los hechos para su resolución, éste se hizo también ante los matemáticos.

    En la historia de , se pueden distinguir varios períodos, el primeros de ellos va desde la más remota antigüedad hasta los inicios del cálculo infinitesimal.

    La más antigua de todas se encuentra en el papiro egipciano Rhind, escrito por Ahmes, 1800 a.C. y afirma que el área de un círculo es como la de un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9, o sea igual a los 8/9 del diámetro.

    NUMEROS IMAGINARIOS

    Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a el nombre de i (por imaginario) y se propuso para ser despectivo, aunque son un concepto válido suponiendo un plano con ejes cartesianos en el que los reales se encuentran sobre el eje horizontal y los imaginarios sobre el eje vertical complejo. Cada número imaginario puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad imaginaria, con la propiedad:

    En campos de ingeniería eléctricos y relacionados, la unidad imaginaria es a menudo escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.

    Cada número complejo puede ser escrito únicamente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma:

    Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.

    Estos números extienden el conjunto de los números reales al conjunto de los números complejos .

    Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que es una especie de anfibio entre el ser y la nada.

    TODO BIEN MIS PANAS

    Comentario por ROSITA PACHECO — octubre 17, 2008 @ 12:29 pm

  28. Por: Anita Bustamante

    LA HISTORIA DEL Π
    En la historia larga del &pi del número;, ha habido muchas torceduras y vueltas, muchas inconsistencias que reflejan la condición de la raza humana en su totalidad. Con cada período principal de la historia del mundo y en cada área regional, el estado del pensamiento intelectual, el estado de las matemáticas, y por lo tanto el estado del π, ha sido dictado por las mismas fuerzas socioeconómicas y geográficas que cada otro aspecto de la civilización. Lo que sigue es una breve historia, organizada por período y la región, del desarrollo de nuestra comprensión del &pi del número;.
    En épocas antiguas, π fue descubierto independientemente por las primeras civilizaciones para comenzar agricultura. Su nuevo sedentario vida estilo primero liberar encima tiempo para matemático pondering, y necesidad para permanente abrigo hacer necesario desarrollo básico ingeniería habilidad, que en mucho caso requerir uno conocimiento relación entre cuadrado y círculo (generalmente satisfacer por encontrar uno razonable aproximación π). Aunque no hay expedientes el sobrevivir de matemáticos individuales de este período, los historiadores saben hoy los valores usados por algunas culturas antiguas. Aquí está un muestreo de algunas culturas y de los valores que utilizaron: Babilónico – 3 1/8, egipcios – (16/9)^2, chinos – 3, hebreos – 3 (implicado en la biblia, reyes de I vii, 23).
    El primer expediente de un matemático individual que toma en el problema del π (a menudo llamar ” ajustar círculo, ” y implicar búsqueda para uno manera para limpio relacionar o área o circunferencia uno círculo ése uno cuadrado) ocurrir en antiguo Grecia en 400’s B.C. (este tentativa ser hacer por Anaxagoras . Basado en este hecho, no está sorprendiendo que la cultura griega era la primera a cavar verdaderamente en las posibilidades de matemáticas abstractas. parte griego cultura centrar en Atenas hacer grande salto en área geometría, primero rama matemática para ser cuidadoso explorar. Antiphon filósofo ateniense, primero indicó el principio del agotamiento (tecleo en Antiphon para más Info). Hippias de Elis creó una curva llamada el quadratrix, que permitió realmente ajustar teórico del círculo, aunque no era práctico.
    En el período griego atrasado (300’s-200’s B.C.), después de que Alexander el grande hubiera separado la cultura griega de las fronteras occidentales de la India al valle del Nilo de Egipto, Alexandría, Egipto se convirtió en el centro intelectual del mundo. Entre los muchos eruditos que trabajaron en la universidad allí, en gran medida el más influyente a la historia del π era Euclid Con publicar de elementos él proporcionó a matemáticos futuros incontables de las herramientas con las cuales atacar el π problema. El otro gran pensador de este tiempo, Archimedes estudiado en Alexandría pero vivido su vida en la isla de Sicilia. Era Archimedes que aproximó su valor del π a alrededor de 22/7, que sigue siendo un valor común hoy.
    Mataron a Archimedes en 212 B.C. en la conquista romana de Syracuse. En los años después de su muerte, el imperio romano ganó gradualmente el control del mundo sabido. A pesar de sus otros logros, el Romans no se conoce para sus logros matemáticos. El período oscuro después de la caída de Roma era incluso más malo para el π. Poco nuevo fue descubierta sobre π hasta una gran parte de la declinación de las edades medias, más que mil años después de la muerte de Archimedes. (para un ejemplo por lo menos de un matemático medieval, vea Fibonacci )
    Mientras que π la actividad se estancó en Europa, la situación en otras partes del mundo era absolutamente diferente. La civilización de Mayan, situada en la península de Yucatan en América central, era absolutamente avanzada por su tiempo. El Mayans era astrónomos de la tapa-muesca, desarrollando un calendario muy exacto. Para hacer esto, habría sido necesario que tengan un valor bastante bueno para el π. Aunque nadie sabe para seguro (casi toda la literatura de Mayan fue quemada durante la conquista española de México), la mayoría de los historiadores convienen que el valor de Mayan era de hecho más exacto que el de los europeos. El chino en el 5to siglo calculaba π a una exactitud no sobrepasada por Europa hasta el 1500’s. El chino, así como el Hindus, llegó el π en áspero el mismo método que los europeos hasta una gran parte del renacimiento, cuando Europa finalmente comenzó a tirar a continuación.
    Durante el período del renacimiento, π la actividad en Europa comenzó finalmente a conseguir móvil otra vez. Dos factores aprovisionaron de combustible esta aceleración: la importancia de aumento de las matemáticas para el uso en la navegación, y la infiltración de números árabes, incluyendo la notación cero (introducido indirectamente de la India) y decimal (sí, los grandes matemáticos de la antigüedad hicieron todos de sus descubrimientos sin nuestros dígitos estándares de 0-9!). Leonardo Da Vinci y Nicolas Copernicus hicieron contribuciones mínimas al π el esfuerzo, pero Fran1cois Vi2ete hizo realmente mejoras significativas a los métodos de Archimedes. Los esfuerzos de Snellius de Gregory y de Juan Machin culminaron eventual en los fórmulas algebraicos para el π eso permitió el cálculo rápido, conduciendo a valores siempre más exactos del π durante este período.
    En el 1700’s la invención del cálculo de sir Isaac Newton y Leibniz aceleró rápidamente el cálculo y el theorization del π. Usando matemáticas avanzadas, Leonhard Euler encontró un fórmula para el π ése es el más rápido hasta la fecha. En el 1700’s atrasado Lambert (suizo) y Legendre (francés) probó independientemente ese π es irracional. Aunque Legendre predijo ese π es también transcendental, esto no fue probada hasta 1882 en que Lindemann publicó un papel de la trece-página que probaba la validez de la declaración de Legendre. También en el décimo octavo siglo, George Louis Leclerc, Comte de Buffon, descubrió un método experimental para calcular π. Pierre Simon Laplace, uno de los fundadores de la teoría de la probabilidad, seguidos en esto en el siglo siguiente. Comenzando en 1949 con la computadora de ENIAC, los sistemas digitales han sido &pi calculador; a la exactitud increíble a través de la segunda mitad del vigésimo siglo. Mientras que ENIAC era capaz de calcular 2.037 dígitos, el expediente en fecha la fecha de este artículo es 206.158.430.000 dígitos, calculados por los investigadores en la universidad de Tokio. Es altamente probable que este expediente estará roto, y hay poca ocasión esa la búsqueda para valores siempre más exactos del π la voluntad viene siempre a un extremo.
    El diccionario colegial de Webster define π como ” 1: la décimosexto letra del alfabeto griego… 2 a: el símbolo pi que denota el cociente de la circunferencia de un círculo a su diámetro b: el cociente sí mismo: un número transcendental que tiene un valor a ocho lugares decimales de 3,14159265 ”
    número de A se puede colocar en varias categorías basadas en sus características. ¿ Es prima o compuesto? ¿ Es imaginario o verdadero? ¿ Es transcendental o algebraico? Estas preguntas ayudan a definir el comportamiento de un número en situaciones diferentes. Para entender donde π los ajustes adentro al mundo de las matemáticas, una deben entender varias de sus características: π es irracionales y el π es transcendental
    Otro concepto importante a entender es el de cómo π se calcula y cómo los métodos han cambiado tiempo excesivo
    Pi (π) es uno de los números más importantes de matemáticas, pero es uno de ésos que sabemos lo menos alrededor. Sus misterios han desconcertado a algunos de los mejores matemáticos a través de la historia, incluyendo Euler y Archimedes. Sabemos qué usted está pensando ahora, ” quién en el mundo desearía crear un Web page sobre π?” Pozo, . A pesar de el hecho obvio que debemos estar fuera de nuestras mentes, una puede realmente tener diversión con π. Calculamos eso una vez que usted consiga entender π, usted será capaz de jugar con π. Pronto le tendremos el tener de más diversión que usted pensó que usted podría tener con un número.

    Siéntase libre al snoop justo alrededor de este sitio, o, si usted tiene gusto, usted puede seguir el mapa del rastro para aprender sobre π de comienzo al final. Para gozar de π, usted tiene que hacerle sus el propios. Tan, utilice este sitio como cojín el lanzar para usted exploración del π. Lo que usted , no pare aquí, allí es demasiado sobre π para solamente una fuente. Compruebe otros sitios e incluso su biblioteca local para saber si hay más información sobre este número increíble. No obstante usted lo hace, usted tiene que encontrar su propio pedazo del π.
    Y cuando usted finalmente consigue cansado de la lectura justa sobre la historia, viene encima y ayuda a hacer alguna historia sus la propia. PiClient un acercamiento que computa distribuido al π calculador, es listo para su participación. Ensamble un número creciente de usuarios como contribuyen su tiempo de repuesto de la computadora el abrir de los misterios matemáticos más grandes de toda la hora.
    El problema de las longitudes inconmensurables se agravó aún más con una de las figuras más sencillas: la circunferencia. En esta figura (a quien se asocian propiedades de infinitud por no tener principio ni fin), parecía imposible determinar el área de una manera sencilla o determinar una medida para la longitud de su perímetro.
    Se atribuye a HIPÓCRATES el descubrimiento de la existencia de la longitud inconmensurable, escondida en la circunferencia: IP
    Según parece, HIPÓCRATES encontró la demostración de la existencia de p intentando infructuosamente resolver, como tantos otros matemáticos griegos, los tres problemas griegos (La duplicación del cubo, la trisección de un ángulo dado y la cuadratura del círculo), y sobre todo el de la cuadratura del círculo. Esto no quiere decir en modo alguno que otras civilizaciones contemporáneas a los griegos o anteriores a ellos no conocieran su existencia.
    Entre los muchos ejemplos que podemos poner de este hecho citamos:
    – En el papiro de Rhind, escrito egipcio que data del 2000 a.C., se encuentra el cálculo del círculo con una aproximación del número p mediante (8/9 d)2 que corresponde al número decimal 3´1605.
    – Los babilonios (200 a. C.) utilizaban la aproximación 3´125 a p y sabían que no era exacta.
    – En el libro de los Reyes y en las Crónicas(Paralipómenos), que forma parte de la Sagrada Biblia, se aproxima el valor de p mediante 3.
    – La civilización china dio pruebas de conocer el número p y se conservan libros como la gran enciclopedia matemática “LA MATEMÁTICA EN NUEVE LIBROS”(compuesta en el 152 a.C. por CHUAM TSANOM) en donde la aproximación utilizada es 3; en el 130 a.C. HOU HAN SHU aproximó p mediante 3´1622; en los trabajos de LIN SING (siglo I d.C.) se encuentra la aproximación 3´1547; en los trabajos de CHISAN HEN(siglo II d.C.) la aproximación Ö10; en el siglo III d.C. LIU HUI tomaba la aproximación 3´14 obteniendo este resultado de la aproximación por defecto el área del círculo mediante polígonos regulares inscritos y por exceso mediante la adición de los anteriores más áreas de rectángulos circunscritos en torno a los segmentos restantes. Así obtenía una fórmula: S2 n< S p <S n + 2( S2 n – S n ) que para el caso n = 10 le proporcionó la comentada aproximación.(siguiendo con tal proceso llegó tiempo más tarde a la aproximación 3´14159 con n = 3072); En el siglo V d.C. TSU CHUNG-CHILH dio diversas aproximaciones (las fracciones 22/7, 385/113 o la aproximación decimal 3´1415926).
    – La matemática árabe y en concreto KASHI, en la primera mitad del siglo XV calculó una aproximación a p hasta 17 cifras exactas. Los cálculos se obtuvieron a partir de polígonos regulares de hasta 3•228 lados.

    ARQUÍMEDES DE SIRACUSA trabajó especialmente las propiedades del círculo y mucha de su obra ha llegado hasta nosotros a través de los teoremas de EUCLIDES.
    Una de sus aportaciones más importantes la constituye la demostración de que los círculos se hallan entre sí en una misma razón que los cuadrados a sus diámetros. Esta demostración se puede encontrar en “Elementos” de EUCLIDES(322 a.C.-285 a.C.), libro 12 22 , al igual que la deducción de que el área del círculo es ipr2.
    Este resultado llevó al descubrimiento de las fórmulas ipr2 del área del círculo así como la de su longitud en función del radio y la existencia de un número común a cualquier círculo ligado a las dos fórmulas. Según consta, se llegó a este hecho mediante el método exhaustivo considerando polígonos regulares inscritos o circunscritos en una circunferencia.
    Nuevamente, la demostración de la existencia sugirió a los matemáticos griegos la aproximación de tal número y se tiene constancia de muchas aproximaciones como puedan ser:
    En el trabajo de ARQUÍMEDES DE SIRACUSA “Medición del círculo” (hacia el 250 a.C.) se encuentra de nuevo el método exhaustivo en el que, mediante polígonos inscritos y circunscritos se llega a dos aproximaciones:

    De este resultado, mediante el método exhaustivo, le viene el sobrenombre al número ip de “número arquimediano”.
    Hacia el 150 a.C., CLAUDIO PTOLOMEO DE ALEJANDRÍA en su libro “Sintaxis matemática” dio la aproximación 377/120.
    Este quehacer matemático en torno al cálculo de las cifras y aproximación del número ip se extendió sobre cada cultura y tiempo de tal modo que es imposible encontrar lugar o nación del mundo donde no se haya descubierto, más tarde o más temprano la existencia de p y se haya intentado aproximar por métodos normalmente similares.
    Entre las muchas aproximaciones que se realizaron podríamos destacar a modo de ejemplo las siguientes:
    El matemático francés FRANCISCO VIÈTE (1540-1603) determinó, hacia 1579, los primeros diez dígitos decimales de p usando polígonos inscritos y circunscritos de hasta 393 lados, y dedujo la fórmula inexacta:

    En 1596 el alemán LUDOLF VAN CEULEN (1539-1610), profesor de matemáticas en la universidad de Leyden, calculó una aproximación de p hasta 35 cifras decimales, utilizando polígonos regulares de hasta 262 lados. Este matemático pidió que en la lápida de su sepulcro figurara p con los 35 dígitos decimales que él había encontrado. Por ello muchos alemanes todavía se refieren a p como el número ludolfiano.
    En el siglo XVII, gracias a la invención del Cálculo infinitesimal gracias a I. NEWTON (1642-1727) y G. W. LEIBNIZ (1646-1716), se dio un nuevo tratamiento, mediante series convergentes, a la búsqueda de los decimales de ip.
    GOTTGNED LEIBNIZ en 1674 determinó la serie siguiente a partir de una fórmula descubierta por JAMES GREGORY (1638-1675):

    LORD WILLIAM BROUNCKER (1620-1684), en torno al año 1658, determinó el siguiente cálculo:

    Siguiendo la nueva corriente de las series, el inglés JOHN WALLIS (1616-1703) determinó el siguiente producto:

    Por otra parte, JOHN MACHIN (1680-1752), viendo que a partir de los primeros 50 términos de las series de LEIBNIZ y WALLIS, las sumas parciales no presentaban cambios significativos, y la convergencia era muy lenta, propuso la serie de convergencia más rápida:

    (*) Esta fórmula apareció como la diferencia de dos arcotangentes ( p = 16 arctg( 1/5 ) – 4 (arctg (1/239) ) ) y permitió determinar los primeros 100 dígitos decimales de p.
    Otros insignes matemáticos y calculistas que trabajaron en la aproximación de p fueron:
    – ABRAHAM SHARP, en torno al año 1700, dio una aproximación, mediante series de convergencia, hasta la cifra número 71
    – El matemático japonés TAKEBE, volviendo a utilizar un método parecido al exhaustivo, usó un polígono regular de 1024 lados para encontrar las primeras 41 cifras decimales de p (que por estos tiempos estaban ya superadas en Europa).
    – L. K. SCHULZ VON STRASSNITSKY, JOHANN MARTÍN ZACHARIAS y DASE, obtuvieron las primeras 200 cifras decimales de p sobre el año 1844.
    – Hacia 1855, RICHTER, determinó los primeros 500 decimales de p de manera correcta.
    – El británico WILLIAM SHANKS, en torno al 1873, dio una aproximación con las primeras 707 cifras decimales de p de las que se demostró más adelante (1945) que sólo eran correctas las primeras 527.

    Otros nombres de ilustres matemáticos y científicos asociados al descubrimiento de las cifras de p son: el hindú BHASKARA (1150d.C.); ISAAC NEWTON(1665); WILLIAM OUGHTRED, ISAAC BARROW y DAVID GREGORY(1737); El japonés MATSANUGA (1739); LEONARD EULER (1748); FREDERICH GAUSS; VEGA(1794); y RUTHERFORD (1853); y SRINIVASA RAMANUJAN( principios del siglo XX) entre otros.
    El cálculo de las cifras de p fue abandonado desde 1883 y retomado en 1946. En esta fecha se hizo el primer cálculo de p con una calculadora. El matemático D. F. FERGUSON determinó por este novedoso procedimiento las primeras 710 cifras decimales de dicho número.
    Desde entonces todas las aproximaciones han ido sirviéndose de las nuevas tecnologías y el descubrimiento de las cifras de p ha tenido espectaculares avances.
    De entre los cálculos más sobresalientes destacamos:
    Año N º Cifras descubiertas Tiempo Autores y maquinas utilizadas
    1949 1.120 primeras cifras JOHN WRENCH JR. Y LEVI SMITH
    1949 2.037 primeras cifras 70 horas COMPUTADOR ENAC

    1958 10.000 primeras cifras 1 hora y 40 minutos IBM 704
    1961 20.000 primeras cifras 39 minutos I.B.M. 7090
    1967 500.000 primeras cifras 28 horas y 10 minutos GUILLOUD Y DICHEMPT programaron una C.D.C.6600
    1981 2.000.038 primeros decimales 137 horas 30 minutos Los japoneses KAZUNUN MIYOSHI y KAZUHIKA NAKAYAMA programaron una FACOM M-200
    1986 29.360.000 primeras cifras

    33 millones 28 horas

    5 horas y 36 minutos D.H.BAILEY

    KANADA
    1989 1.011.196.691 primeras cifras decimales DAVID y GREGORY CHUDNOVSKY con CRAY 2 y I.B.M. 3090

    NÚMERO IMAGINARIO

    Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a el nombre de i (por imaginario) y se propuso para ser despectivo, aunque son un concepto válido suponiendo un plano con ejes cartesianos en el que los reales se encuentran sobre el eje horizontal y los imaginarios sobre el eje vertical complejo. Cada número imaginario puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad imaginaria, con la propiedad:

    En campos de ingeniería eléctricos y relacionados, la unidad imaginaria es a menudo escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.
    Cada número complejo puede ser escrito únicamente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma:

    Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.
    Estos números extienden el conjunto de los números reales al conjunto de los números complejos .
    Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que es una especie de anfibio entre el ser y la nada.

    Comentario por Anita Bustamante — octubre 17, 2008 @ 12:31 pm

  29. π (Pi)
    Pi es un número irracional, cociente entre la longitud de la circunferencia (perímetro) y la longitud de su diámetro. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:

    HISTORIA DE PI
    La historia de pi la delato a continuación:
    – En el Antiguo Egipto Se consideraba pi = 3,1605
    – En Antigua Babilonia pi =3
    – En China se dan variedad de resultados en la antigüedad (Grandes matemáticos)
    S. I pi =3,1447
    S. II pi=3,10
    S. III pi = 3,14
    Polígono de 192 lados se comenta que evolucionó hasta el polígono de 3072 lados —> pi =3,14159
    S. V d.C un genial astrónomo chino llamado Tsu Ch’ung calculó que pi se acerca enormemente a 355/113.
    En occidente hubo que esperar 1000 años para alcanzar este nivel.
    -Europa El genio de Arquímedes sabía que pi estaba entre 3 + 10/71 < pi < 3 + 1/7
    La Biblia da a pi el valor 3
    En el S. XVIII Lambert y A Legendre demostraron que pi no es un número racional.
    El matemático y arquitecto militar holandés Ludolph Van Cenlen determinó primero 20 y después 35 cifras decimales del número pi. Van Cenlen fue el primero en superar los resultados del matemático de Asia central Kashi.
    -Oriente Medio Los Árabes tenían un arsenal de matemáticos, y obtuvieron 17 decimales exactos del número pi a través de los polígonos inscritos en una circunferencia. Estos cálculos fueron realizados en la primera mitad del siglo XV y fueron llevados hasta la determinación del lado del polígono regular de 2832 Lados (Kashi). Para valorar más correctamente las proezas de los excelentes matemáticos árabes se comenta que, al cabo de más de 150 años, en 1593, en Europa, F. Viete encontró solo 9 cifras exactas de pi mediante un polígono de 1722 lados.
    Sólo a finales del siglo XVI y comienzos de XVII, Van Roomen repitió el resultado de Kashi y posteriormente lo supero en Holanda (1539-1610).
    A continuación le presento una tabla que halle para, si se quiere, dar un posible valor a pi en que fue hecha en un Polígono inscrito en una circunferencia:
    Lados Numero Obtenido
    36 3,1
    360 3,141
    3.600 3,14159
    36.000 3,1415926
    360.000 3,141592653
    3.600.000 3,14159265358
    36.000.000 3,1415926535897
    360.000.000 3,141592653589793.
    3.600.000.000 3,14159265358979324
    Bueno ing. Según este trabajo el valor de pi se da de algunos intentos para poder aproximarse al valor exacto algunos definen que se lo lo saca a través de polígonos de diferentes lados y a través de algunas fórmulas.
    NÚMERO IMAGINARIO
    Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a el nombre de i (por imaginario) y se propuso para ser despectivo, aunque son un concepto válido suponiendo un plano con ejes cartesianos en el que los reales se encuentran sobre el eje horizontal y los imaginarios sobre el eje vertical complejo. Cada número imaginario puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad imaginaria, con la propiedad: i al cuadrado es igual a -1.

    En campos de ingeniería eléctricos y relacionados, la unidad imaginaria es a menudo escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.
    Cada número complejo puede ser escrito únicamente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma: a + bi

    Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.
    Estos números extienden el conjunto de los números reales R al conjunto de los números complejos C .j
    Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que la raíz cuadrada de -1 es una especie de anfibio entre el ser y la nada.

    bueno profe este es lo que yo consulte y aprovecho la oportunidad para una vez más felicitar por ese método que ud. utiliza para enseñarnos creo yo uno de los métodos más pertinentes para nosotros podernos educar y autoeducar nosotros mismos siga adelante profe y una vez más gracias por compartir con nostros todos sus conocimientos.

    Comentario por Diego Abad — octubre 17, 2008 @ 12:37 pm

  30. EL NÚMERO PI
    El número pi es la constante que relaciona el perímetro de una circunferencia con la amplitud de su diámetro: Π = L/D.
    Este no es un número exacto sino que es de los llamados irracionales, ya que tiene infinitas cifras decimales.

    Pi, como concepto, presente en Egipto
    Ya en la antigüedad, se insinuó que todos los círculos conservaban una estrecha dependencia entre el contorno y su radio pero tan sólo desde el siglo XVII la correlación se convirtió en un dígito y fue identificado con el nombre “Pi” (de periphereia, denominación que los griegos daban al perímetro de un círculo).
    Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones y popularizada por el matemático Leonard Euler en su obra “Introducción al cálculo infinitesimal” de 1748. Fue conocida anteriormente como constante de Ludoph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (No se debe confundir con el número de Arquímedes).
    El valor computado de esta constante ha sido conocido con diferentes precisiones en el curso de la historia, de esta forma en una de las referencias documentadas más antiguas como la Biblia aparece de forma indirecta asociada con el número natural 3 y en Mesopotamia los matemáticos la empleaban como 3 y una fracción añadida de 1/8.
    Pi (π) es una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e, y es, tal vez por ello la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados.
    Un coetáneo de Sócrates, Antiphon, inscribió en el círculo un cuadrado, luego un octógono e ideó multiplicar la cantidad de lados hasta el momento en que el polígono obtenido ajustara casi con el anillo.

    Comentario por Uvaldo Tacuri — octubre 17, 2008 @ 12:42 pm

  31. Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a el nombre de i (por imaginario) y se propuso para ser despectivo, aunque son un concepto válido suponiendo un plano con ejes cartesianos en el que los reales se encuentran sobre el eje horizontal y los imaginarios sobre el eje vertical complejo. Cada número imaginario puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad imaginaria, con la propiedad:

    Comentario por Uvaldo Tacuri — octubre 17, 2008 @ 12:46 pm

  32. UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOJA
    ÁREA DE LA EDUCACIÓN ARTE Y COMUNICACIÓN
    TRABAJO DE CONSULTA

    Nombre: Gloria Benites.
    Módulo III

    Historia de Pi (π)
    La constante matemática pi (3.14159…), ese misterioso número que en el colegio se nos aparece hasta en la sopa, describe la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Fue bautizada así por lo griegos ya que pi es la primera letra de la palabra perímetro en griego y con ese nombre ha llegado hasta nosotros (aunque es conocida desde tiempos más remotos). Muy probablemente pi sea el número más famoso y estudiado en la historia de las matemáticas.

    La palabra Pi se refiere a:
    1. Una letra del alfabeto griego π..
    2. La razón matemática entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia.
    π (pi) es un número irracional, cociente entre la longitud de la circunferencia (perímetro) y la longitud de su diámetro. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:

    La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego “περιφέρεια” (periferia) y “περίμετρον” (perímetro) de un círculo. Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones2 y popularizada por el matemático Leonhard Euler en su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» de 1748. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (no se debe confundir con el número de Arquímedes).
    El valor de π ha sido conocido con distinta precisión a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Tal vez por ello sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La constancia de la razón de la circunferencia al diámetro no es válida en geometrías no elucídelas.

    Números Imaginarios
    Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a el nombre de i (por imaginario) y se propuso para ser despectivo, aunque son un concepto válido suponiendo un plano con ejes cartesianos en el que los reales se encuentran sobre el eje horizontal y los imaginarios sobre el eje vertical complejo. Cada número imaginario puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad imaginaria, con la propiedad:

    En campos de ingeniería eléctricos y relacionados, la unidad imaginaria es a menudo escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.
    Cada número complejo puede ser escrito únicamente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma:

    Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.
    i=-1
    Estos números extienden el conjunto de los números reales al conjunto de los números complejos .
    Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que es una especie de anfibio entre el ser y la nada.

    Esto es todo en cuanto he podido consultar acerca del pi y los números imaginarios.

    Comentario por Gloria Benites — octubre 17, 2008 @ 1:23 pm

  33. QUE ES PI (π).
    El diccionario colegial de Webster define a Pi (π) como ” 1: la decimosexta letra del alfabeto griego… 2 a: el símbolo pi que denota el cociente de la circunferencia de un círculo a su diámetro b: el cociente sí mismo: un número transcendental que tiene un valor a ocho lugares decimales de 3,14159265”
    Número de A se puede colocar en varias categorías basadas en sus características. ¿Es prima o compuesto? ¿Es imaginario o verdadero? ¿Es transcendental o algebraico? Estas preguntas ayudan a definir el comportamiento de un número en situaciones diferentes. Para entender donde π los ajustes adentro al mundo de las matemáticas, una deben entender varias de sus características: π es irracionales y el π es transcendental
    La letra griega se utiliza desde 1706 para representar al resultado de dividir la circunferencia entre el diámetro de un círculo. Es equivalente a la letra p de nuestro alfabeto y el matemático William Jones la escogió porque era la letra con la que empieza la palabra peripheria.
    HISTORIA DE PI ( )
    En la historia larga del π del número, ha habido muchas torceduras y vueltas, muchas inconsistencias que reflejan la condición de la raza humana en su totalidad. Con cada período principal de la historia del mundo y en cada área regional, el estado del pensamiento intelectual, el estado de las matemáticas, y por lo tanto el estado del π, ha sido dictado por las mismas fuerzas socioeconómicas y geográficas que cada otro aspecto de la civilización. Lo que sigue es una breve historia, organizada por período y la región, del desarrollo de nuestra comprensión del π del número;.
    En épocas antiguas, π fue descubierto independientemente por las primeras civilizaciones para comenzar agricultura. Su nuevo sedentario vida estilo primero liberar encima tiempo para matemático pondering, y necesidad para permanente abrigo hacer necesario desarrollo básico ingeniería habilidad, que en mucho caso requerir uno conocimiento relación entre cuadrado y círculo (generalmente satisfacer por encontrar uno razonable aproximación π). Aunque no hay expedientes el sobrevivir de matemáticos individuales de este período, los historiadores saben hoy los valores usados por algunas culturas antiguas. Aquí está un muestreo de algunas culturas y de los valores que utilizaron: Babilónico – 3 1/8, egipcios – (16/9)^2, chinos – 3, hebreos – 3 (implicado en la biblia, reyes de I vii, 23).
    El primer expediente de un matemático individual que toma en el problema del π (a menudo llamar ” ajustar círculo, ” y implicar búsqueda para uno manera para limpio relacionar o área o circunferencia uno círculo ése uno cuadrado) ocurrir en antiguo Grecia en 400’s B.C. (este tentativa ser hacer por Anaxagoras . Basado en este hecho, no está sorprendiendo que la cultura griega era la primera a cavar verdaderamente en las posibilidades de matemáticas abstractas. parte griego cultura centrar en Atenas hacer grande salto en área geometría, primero rama matemática para ser cuidadoso explorar. Antiphon filósofo ateniense, primero indicó el principio del agotamiento (tecleo en Antiphon para más Info). Hippias de Elis creó una curva llamada el quadratrix, que permitió realmente ajustar teórico del círculo, aunque no era práctico.
    En el período griego atrasado (300’s-200’s B.C.), después de que Alexander el grande hubiera separado la cultura griega de las fronteras occidentales de la India al valle del Nilo de Egipto, Alexandria, Egipto se convirtió en el centro intelectual del mundo. Entre los muchos eruditos que trabajaron en la universidad allí, en gran medida el más influyente a la historia del π era Euclid Con publicar de elementos él proporcionó a matemáticos futuros incontables de las herramientas con las cuales atacar el π problema. El otro gran pensador de este tiempo, Archimedes estudiado en Alexandria pero vivido su vida en la isla de Sicilia. Era Archimedes que aproximó su valor del π a alrededor de 22/7, que sigue siendo un valor común hoy.
    Mataron a Archimedes en 212 B.C. en la conquista romana de Syracuse. En los años después de su muerte, el imperio romano ganó gradualmente el control del mundo sabido. A pesar de sus otros logros, el Romans no se conoce para sus logros matemáticos. El período oscuro después de la caída de Roma era incluso más malo para el π. Poco nuevo fue descubierta sobre π hasta una gran parte de la declinación de las edades medias, más que mil años después de la muerte de Archimedes. (Para un ejemplo por lo menos de un matemático medieval, vea Fibonacci)
    Mientras que π la actividad se estancó en Europa, la situación en otras partes del mundo era absolutamente diferente. La civilización de Mayan, situada en la península de Yucatan en América central, era absolutamente avanzada por su tiempo. El Mayans era astrónomos de la tapa-muesca, desarrollando un calendario muy exacto. Para hacer esto, habría sido necesario que tengan un valor bastante bueno para el π. Aunque nadie sabe para seguro (casi toda la literatura de Mayan fue quemada durante la conquista española de México), la mayoría de los historiadores convienen que el valor de Mayan era de hecho más exacto que el de los europeos. El chino en el 5to siglo calculaba π a una exactitud no sobrepasada por Europa hasta el 1500’s. El chino, así como el Hindus, llegó el π en áspero el mismo método que los europeos hasta una gran parte del renacimiento, cuando Europa finalmente comenzó a tirar a continuación.
    Durante el período del renacimiento, π la actividad en Europa comenzó finalmente a conseguir móvil otra vez. Dos factores aprovisionaron de combustible esta aceleración: la importancia de aumento de las matemáticas para el uso en la navegación, y la infiltración de números árabes, incluyendo la notación cero (introducido indirectamente de la India) y decimal (sí, los grandes matemáticos de la antigüedad hicieron todos de sus descubrimientos sin nuestros dígitos estándares de 0-9!). Leonardo Da Vinci y Nicolas Copernicus hicieron contribuciones mínimas al π el esfuerzo, pero Fran1cois Vi2ete hizo realmente mejoras significativas a los métodos de Archimedes. Los esfuerzos de Snellius de Gregory y de Juan Machin culminaron eventual en los fórmulas algebraicos para el π eso permitió el cálculo rápido, conduciendo a valores siempre más exactos del π durante este período.
    En el 1700’s la invención del cálculo de sir Isaac Newton y Leibniz aceleró rápidamente el cálculo y el theorization del π. Usando matemáticas avanzadas, Leonard Euler encontró un fórmula para el π ése es el más rápido hasta la fecha. En el 1700’s atrasado Lambert (suizo) y Legendre (francés) probó independientemente ese π es irracional. Aunque Legendre predijo ese π es también transcendental, esto no fue probada hasta 1882 en que Lindemann publicó un papel de la trece-página que probaba la validez de la declaración de Legendre. También en el décimo octavo siglo, George Louis Leclerc, Comte de Buffon, descubrió un método experimental para calcular π. Pierre Simón Laplace, uno de los fundadores de la teoría de la probabilidad, seguidos en esto en el siglo siguiente.
    Comenzando en 1949 con la computadora de ENIAC, los sistemas digitales han sido π calculador; a la exactitud increíble a través de la segunda mitad del vigésimo siglo. Mientras que ENIAC era capaz de calcular 2.037 dígitos, el expediente en fecha la fecha de este artículo es 206.158.430.000 dígitos, calculados por los investigadores en la universidad de Tokio. Es altamente probable que este expediente estará roto, y hay poca ocasión esa la búsqueda para valores siempre más exactos del π la voluntad viene siempre a un extremo.

    Comentario por Pamela Jaramillo. — octubre 17, 2008 @ 2:01 pm

  34. NÚMEROS IMAGINARIOS.
    Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. Fue en el año 1777 cuando Leonard Euler le dio a el nombre de i (por imaginario) y se propuso para ser despectivo, aunque son un concepto válido suponiendo un plano con ejes cartesianos en el que los reales se encuentran sobre el eje horizontal y los imaginarios sobre el eje vertical complejo. Cada número imaginario puede ser escrito como ib. donde b es un número real e i es la unidad imaginaria, con la propiedad:

    En campos de ingeniería eléctricos y relacionados, la unidad imaginaria es a menudo escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.
    Cada número complejo puede ser escrito únicamente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma:

    Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.
    Estos números extienden el conjunto de los números reales al conjunto de los números complejos .

    Comentario por Pamela Jaramillo. — octubre 17, 2008 @ 2:12 pm

  35. Historia de Pi
    La constante matemática pi (3.14159…), ese misterioso número que en el colegio se nos aparece hasta en la sopa, describe la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Fue bautizada así por lo griegos ya que pi es la primera letra de la palabra perímetro en griego y con ese nombre ha llegado hasta nosotros (aunque es conocida desde tiempos más remotos).
    Muy probablemente pi sea el número más famoso y estudiado en la historia de las matemáticas.

    Un versículo poco conocido de la Biblia dice:
    Hizo una fuente de metal fundido que medía 10 codos de diámetro: era completamente redonda, y su altura era de 5 codos y una línea de 30 codos lo rodeaba. (I Reyes 7, 23)
    El mismo versículo puede encontrarse en II Crónicas 4, 2. Aquí aparece en una lista de especificaciones para el gran templo de Salomón, construido sobre el 950 a. C. y su interés aquí radica en que da un valor de π = 3. No es un valor muy preciso, desde luego, e incluso no muy preciso para su época, lo egipcios y mesopotámicos habían dado valores de 25 / 8 = 3,125 y de √10 = 3,162 respectivamente en épocas mucho más recientes: aunque en defensa de los artesanos de Salomón debería hacerse notar que el elemento que se describe parece ser una pieza de metal fundida muy grande, donde un alto grado de precisión geométrica no es posible ni necesario.
    Hay algunas otras interpretaciones que llevan a un valor mucho más correcto.

    El hecho de que la razón de la circunferencia al diámetro de un círculo es constante ha sido conocido durante tanto tiempo que es casi imposible de rastrear. Los primeros valores para p que incluyen el valor ‘bíblico’ de 3, fueron casi con certeza encontrados mediante medida. En el Papiro Egipcio de Rhind, que data del 1650 a. C., hay buenas pruebas para tomar 4 (8 / 9)2 = 3,16 como valor para π.

    Es casi increíble que una definición de π fuese usada, al menos como excusa, para un ataque racial sobre el eminente matemático Edmund Landau en 1934. Landau había definido π en su libro de texto publicado en Göttingen en aquel año usando el, ahora bastante usual, método de decir que π / 2 es el valor de x entre 1 y 2 para el cual el coseno de x es cero. Esto desató una disputa académica que terminó con la destitución de Landau de su puesto en Göttingen. Bieberbach, un eminente teórico numérico que hacía el ridículo con sus visiones racistas, explicó las razones para la destitución de Landau:
    De esta forma el valiente rechazo por el cuerpo de estudiantes de Göttingen que un gran matemático, Edmund Landau, ha experimentado es debido en un análisis final al hecho de que el estilo no-germano de este hombre en sus enseñanzas e investigaciones es insostenible con los sentimientos germanos. Una persona que ha observado cómo miembros de otras razas están trabajando para imponer ideas extranjeras a sí mismos debe rechazar profesores de una cultura ajena.
    G H Hardy replicó inmediatamente a Bieberbach en una nota publicada acerca de los consecuencias de esta definición no-germana de π:
    Hay muchos de nosotros, ingleses y alemanes, que dijimos durante la Guerra cosas [N del T: Se sobreentiende la Primera Guerra Mundial] sin sentido y que ahora lamentamos recordar. La ansiedad por la propia posición, el miedo a caer tras el creciente torrente de estupideces, la determinación a todo coste de no quedar al descubierto, pueden ser naturales, si no particularmente heroicas, excusas. La reputación del Profesor Bieberbach excluye tales explicaciones a sus palabras, lo que me lleva a la poco caritativa conclusión de que realmente cree que tiene razón.
    No solo los alemanes tuvieron problemas con π. En los Estados Unidos el valor de π dio lugar a un acalorado debate político. En el Estado de de Indiana, en 1897 la Cámara de Representantes aprobó por unanimidad una Proyecto de Ley introduciendo una nueva verdad matemática.
    Promulgado por la Asamblea del Estado de Indiana: Se ha encontrado que el área de un círculo es el cuadrado de una línea igual al cuadrante de la circunferencia, así como el área de un rectángulo equilátero es el cuadrado de uno de los lados. (Sección I, House Bill No. 246, 1897).El Senado de Indiana se mostró un poco más sensato y ¡pospuso de forma indefinida la adopción del decreto!

    Cuestiones abiertas sobre el número π
    ¿Cada uno de los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 aparecen infinitamente con frecuencia en π?
    Pregunta de Brouwer: En la expansión decimal de π, ¿hay alguna posición donde mil dígitos consecutivos sean todos cero?
    ¿En π simplemente normal en base 10? ¿Hace esto que cada dígito aparezca con la misma frecuencia en su expansión decimal en un sentido asintótico?
    ¿Es π normal en base 10? ¿Hace esto que cada bloque de dígitos de una longitud dada aparezca con la misma frecuencia en su expansión decimal en un sentido asintótico?
    ¿Es π normal? ¿Hace esto que cada bloque de dígitos de una longitud dada aparezca con la misma frecuencia en la expansión de cada base en un sentido asintótico? El concepto fue introducido por Borel en 1909.
    ¡Otra cuestión normal! Sabemos que π no es un número racional ya que no hay ningún punto a partir del cual sus dígitos comiencen a repetirse. Sin embargo, si π es normal entonces el primer millón de dígitos 314159265358979… tendrá lugar desde algún punto. ¡Incluso si π no es normal esto se mantiene! ¿Es así? ¿Si es así, desde qué punto? Nota: Por encima de 200 millones lo más largo en aparecer es 31415926 y aparece dos veces.
    NÚMEROS IMAGINARIOS
    Se llama así al número raíz cuadrada de menos uno y se designa por la letra i.
    Un número imaginario se denota por bi en donde b es el número real e i es la unidad imaginaria

    Por Yadira

    Comentario por Yadira Maldonado — octubre 17, 2008 @ 2:59 pm

  36. Bueno lo que yo encontre sobre la investigación de Pi y de los número imaginarios es lo siguiente:
    NÚMEROS IMAGINARIOS.
    NÚMEROS COMPLEJOS.
    HISTORIA DE PI (π)

    NÚMEROS COMPLEJOS
    Llamamos conjunto de los números complejos al conjunto de los pares de números reales en el cual definimos las siguientes operaciones:
    Suma.
    Multiplicación.
    En el número complejo llamaremos a (a) la parte real y a (b) la parte imaginaria.
    Estos números se usan mucho en matemáticas, física y electrónica, ya que facilitan los cálculos.
    La estructura algebraica de los números complejos o imaginarios engloba a los Reales.
    Los números complejos están compuestos de dos partes: una parte real y una parte imaginaria; cuando se extrae un resultado para aplicarlo a mediciones en la física, se toma sólo la parte real del número complejo.
    Rene Descartes dio la designación de parte real y parte imaginaria, en 1833 Hamilton propuso la expresión:
    a + ib
    Con a y b reales. La letra i representa la raíz cuadrada de -1
    NÚMEROS IMAGINARIOS
    Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo.
    Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a el nombre de i (por imaginario) y se propuso para ser despectivo, aunque son un concepto válido suponiendo un plano con ejes cartesianos en el que los reales se encuentran sobre el eje horizontal y los imaginarios sobre el eje vertical complejo.
    Cada número imaginario puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad imaginaria, con la propiedad:

    Cada número complejo puede ser escrito únicamente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma:

    Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.
    Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que es una especie de anfibio entre el ser y la nada.
    HISTORIA DEL VALOR PI (Π)
     El primer cálculo teórico parece haber sido llevado a cabo por Arquímedes.
     Como π resulta de hacer una división (circunferencia entre diámetro), al principio se pensó que habrían de existir dos números enteros (como los que usamos para contar) cuya división diera como resultado su valor exacto.
     El registro más antiguo de π que se conoce forma parte del papiro Rhind, escrito por un egipcio llamado Ahmes, hacia 1650 a.C. Los cálculos que hizo Ahmes en aquél entonces sugerían que:
    π = 64/81, más o menos 3.160493827160494….
     Así que comenzaron trazando un hexágono, luego duplicaron el número de lados para obtener un dodecágono, volvieron a duplicar el número de lados para conseguir un polígono de veinticuatro lados, y así sucesivamente.
     Con esta idea y un polígono de 96 lados Arquímedes se dio cuenta de que el valor de π se encontraba entre estos dos números:
    223/71 < π < 22/7
     Esto quiere decir que π es mayor que 223/71, pero menor que 22/7. Si hacemos las divisiones, podemos ver que el valor de π está entre 3.1408450… Y 3.1428571…
     A principios de siglo II de nuestra era, Chang Hong, el ministro del emperador chino An-ti, dedicaba sus ratos libres a la astronomía. Justo antes de morir afirmó que π = raíz de 10, o bien, = 3.1622776…
     En el año 263, Liu Hui trabajó con un polígono de 192 lados y obtuvo que π era mayor que 3.14024, pero menor que 3.142704. Y luego, con un polígono de 3,072 lados llegó a concluir que π era igual a 3.1416.
     Por su parte, el astrónomo Tsu Chung-chih y su hijo Tsu Keng-chih estudiaron polígonos de hasta 24,576 lados y lograron una aproximación de π que no sería superada en más de mil años:
    π = 355/13, o bien, π= 3.14159265…
     Alrededor del año 530 el matemático Aryabhata calculó el perímetro de un polígono de 384 lados para llegar a concluir que π = raíz de 9.8684, o sea, 3.1414009…
     El matemático hindú más importante del siglo VII, Brahmagupta, también llegó a concluir que π = raíz de 10. Aunque esta aproximación es la misma que hizo Chang Hong cinco siglos antes, los hindúes fueron quienes la llevaron a Europa; y fue la más usada durante la Edad Media debido a su simplicidad.
     En 1220 Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, afirmaba que π tenía un valor de 869/275, más o menos 3.1418…; ésta es una aproximación tan sólo 0.0001 veces más precisa que la de Arquímedes.
     El matemático francés Francois Viète también trazó polígonos de hasta 393,216 lados para concluir que 3.1415926535… es menor que π, pero 3.1415926567 … se pasa.
     Los años pasaron y se buscaron muchas maneras para tratar de encontrar el valor exacto de π.
     Aunque los matemáticos parecían estar cada vez más cerca, no lo conseguían.
     Muy al principio el problema era que los matemáticos pensaban que π podía obtenerse al dividir dos números enteros, es decir que era un número racional.
     Y esto es justamente lo que π no es.
     En el siglo XVIII se supo que π es un número irracional, esto significa que no importa cuántas parejas de números enteros dividamos, ninguno de esas divisiones va a ser igual a π.
     El valor de pi (π) no puede calcularse numéricamente con total precisión porque es un número irracional. Eso quiere decir que, por más cifras decimales que logremos calcular correctamente, siempre habrá más cifras decimales que desconocemos.
     En la actualidad se conocen miles de millones de cifras decimales del valor de pi (π).

    Esta información la tome de:
    Jorge José Osés Recio, Departamento de Matemáticas – Universidad de los Andes – Bogotá – Colombia – 2004, Tomado de http://temasmatematicos.uniandes.edu.co

    Comentario por Johanna Rodríguez — octubre 17, 2008 @ 3:17 pm

  37. UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOJA
    ÁREA DE LA EDUCACIÓN EL ARTE Y LA COMUNICACIÓN
    CARRERA DE INFORMATICA EDUCATIVA

    Módulo: Pensamiento Lógico Computacional
    Fecha: 17/10/2008
    Nombre: Viviana Montalván

    Título.
    INFORME DE EL PI Y NÚMEROS IMAGINARIOS
    Contenido.
    NÚMERO PI
    π (PI) es un número irracional, cociente entre la longitud de la circunferencia (perímetro) y la longitud de su diámetro. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π (PI), truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:
    PI=3.1415926535897932384…

    La notación con la letra griega PI π proviene de la inicial de las palabras de origen griego “περιφέρεια” (periferia) y “περίμετρον” (perímetro) de un círculo. Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones2 y popularizada por el matemático Leonhard Euler en su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» de 1748. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (no se debe confundir con el número de Arquímedes).
    El valor de π ha sido conocido con distinta precisión a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Tal vez por ello sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados.
    • PI (π) es la decimosexta letra del alfabeto griego. Tiene un valor de 80 en el sistema de numeración griega.
    La constante matemática PI describe la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

    NÚMEROS IMAGINARIOS

    Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. Fue en el año 1777. Cuando Leonhard Euler le dio el nombre de i (por imaginario) y se propuso para ser descriptivo, aunque son un concepto válido suponiendo un plano con ejes cartesianos en el que los reales se encuentran sobre el eje horizontal y los imaginarios sobre el eje vertical complejo.
    El número imaginario se denota por bi, donde:

    • b es un número real
    • i es la unidad imaginaria

    En campos de ingeniería eléctricos y relacionados, la unidad imaginaria es a menudo escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.
    Con números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo.
    Conclusiones

    •Fue bautizada así por lo griegos ya que pi es la primera letra de la palabra perímetro en griego y con ese nombre ha llegado hasta nosotros.
    •Muy probablemente pi sea el número más famoso y estudiado en la historia de las matemáticas.
    •Cada número complejo puede ser escrito únicamente como una suma de un número real y un número imaginario
    •Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.

    Bibliografía

    http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/lugares/que_es_pi/pi.htm.
    • De Wikipedia, la enciclopedia libre
    http://www.vitutor.com/di/c/a_1.html
    http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_imaginaria

    Comentario por Viviana Montalván — octubre 17, 2008 @ 3:29 pm

  38. UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOJA
    ÁREA DE LA EDUCACIÓN EL ARTE Y LA COMUNICACIÓN
    CARRERA DE INFORMATICA EDUCATIVA

    Módulo: Pensamiento Lógico Computacional
    Fecha: 17/10/2008
    Nombre: Viviana Montalván

    Título.
    INFORME DE EL PI Y NÚMEROS IMAGINARIOS
    Contenido.
    NÚMERO PI
    π (PI) es un número irracional, cociente entre la longitud de la circunferencia (perímetro) y la longitud de su diámetro. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π (PI), truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:

    La notación con la letra griega PI π proviene de la inicial de las palabras de origen griego “περιφέρεια” (periferia) y “περίμετρον” (perímetro) de un círculo. Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones2 y popularizada por el matemático Leonhard Euler en su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» de 1748. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (no se debe confundir con el número de Arquímedes).
    El valor de π ha sido conocido con distinta precisión a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Tal vez por ello sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados.
    • Pi (π) es la decimosexta letra del alfabeto griego. Tiene un valor de 80 en el sistema de numeración griega.
    La constante matemática PI describe la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
    NÚMEROS IMAGINARIOS
    Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. Fue en el año 1777. Cuando Leonhard Euler le dio el nombre de i (por imaginario) y se propuso para ser descriptivo, aunque son un concepto válido suponiendo un plano con ejes cartesianos en el que los reales se encuentran sobre el eje horizontal y los imaginarios sobre el eje vertical complejo.
    El número imaginario se denota por bi, donde:

    • b es un número real
    • i es la unidad imaginaria
    En campos de ingeniería eléctricos y relacionados, la unidad imaginaria es a menudo escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.
    Con números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo.
    Conclusiones
    • Fue bautizada así por lo griegos ya que pi es la primera letra de la palabra perímetro en griego y con ese nombre ha llegado hasta nosotros.
    • Muy probablemente pi sea el número más famoso y estudiado en la historia de las matemáticas.
    • Cada número complejo puede ser escrito únicamente como una suma de un número real y un número imaginario
    • Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.
    Bibliografía
    http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/lugares/que_es_pi/pi.htm.
    • De Wikipedia, la enciclopedia libre
    http://www.vitutor.com/di/c/a_1.html
    http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_imaginaria

    Comentario por Viviana Montalván — octubre 17, 2008 @ 3:34 pm

  39. HISTORIA DE PI (π)
    Es una letra o símbolo griega pi (π). Símbolo adoptado inicialmente en 1706 por William Jones y popularizado por Euler.
    La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego “περιφέρεια” (periferia) y “περίμετρον” (perímetro) de un círculo.
    π (pi) es un número irracional, cociente entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:
    π =3,1416.
    NÚMERO IMAGINARIO
    Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo.

    Cada número imaginario puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad imaginaria, A un número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.

    Comentario por Miriam Guamán — octubre 17, 2008 @ 3:40 pm

  40. Número π (PI)
    Letra griega pi. Símbolo adoptado inicialmente en 1706 por William Jones y popularizado por Euler.
    π (pi) es un número irracional, cociente entre la longitud de la circunferencia (perímetro) y la longitud de su diámetro. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:

    La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego “περιφέρεια” (periferia) y “περίμετρον” (perímetro) de un círculo.1 Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones2 y popularizada por el matemático Leonhard Euler en su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» de 1748. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (no se debe confundir con el número de Arquímedes). El valor de π ha sido conocido con distinta precisión a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Tal vez por ello sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La constancia de la razón de la circunferencia al diámetro no es válida en geometrías no euclídeas.
    Época egipcia
    El uso del número π en las culturas antiguas se remonta al que hacía el escriba egipcio Ahmes en el año 1800 a. C., descrito en el papiro de Rhind,3 donde se emplea un valor de π afirmando que el área de un círculo es similar a la de un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9, es decir igual a los 8/9 del diámetro.
    Entre los ocho documentos matemáticos de la cultura egipcia hallados hasta hoy, en sólo dos se habla de círculos. Uno es el papiro de Rhind y el otro es el papiro de Moscú. Sólo en el primero se habla del cálculo del número π. El investigador Otto Neugebauer, en un anexo de su libro «The Exact Sciences in Antiquity»,4 describe un método inspirado en los problemas del papiro de Ahmes para averiguar el valor aproximado de π, mediante la aproximación del área de un cuadrado de lado 8, a la de un círculo de diámetro 9. Algunos matemáticos mesopotámicos empleaban en el cálculo de segmentos valores de π iguales a 3, alcanzando en algunos casos valores más refinados de 3 y 1/8.
    Método de Arquímedes para encontrar dos cotas que se aproximen al número π.El matemático griego Arquímedes (siglo III a. C.) fue capaz de determinar el número π entre el intervalo comprendido por 3 10/71, como valor mínimo y 3 1/7, como valor máximo. Con esta aproximación de Arquímedes se obtiene un valor con un error que oscila entre 0,024% y 0,040% sobre el valor real. El método empleado por Arquímedes5 era muy simple y consistía en circunscribir e inscribir polígonos regulares de n-lados en circunferencias y calcular el perímetro de dichos polígonos. Arquímedes empezó con hexágonos circunscritos e inscritos, y fue doblando el número de lados hasta llegar a polígonos de 96 lados.
    La matemática persa y china
    El cálculo de pi fue una atracción para todas las culturas con matemáticos dedicados, de esta forma se tiene que el matemático chino Liu Hui fue el primero en sugerir que 3,14 era una buena aproximación, usando un polígono de 96 lados. Posteriormente estimó π como 3,14159 empleando un polígono de 3072 lados.
    En el siglo V, el matemático y astrónomo chino Zu Chongzhi calculó π en 3,1415926 al que llamo «valor por defecto» y 3,1415927 «valor por exceso», y dio dos aproximaciones racionales de π: 22/7 y 355/113 muy conocidas ambas,9 siendo la ultima aproximación tan buena y precisa que no fue igualada hasta 900 años después, en el siglo XV.
    En el siglo XV, el matemático persa Ghiyath al-Kashi fue capaz de calcular π con 9 dígitos empleando una base numérica sexagesimal, lo que equivale a una aproximación de 16 dígitos decimales: 2π = 6,2831853071795865.

    Propiedades matemáticas
    Se muestra la relación entre un cuadrado de lado r y un círculo de radio r. El área del círculo es πr2.
    Las primeras 200 cifras decimales
    A pesar de tratarse de un número irracional continúa siendo averiguada la máxima cantidad posible de decimales. Los 200 primeros son:
    π ≈ 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
    Fórmulas que contienen a π…
    En geometría
    • Circunferencia de radio r: C = 2 π r
    • Área del círculo de radio r: A = π r²
    • Área de la elipse con semiejes a y b: A = π ab
    • Área del cilindro: 2 π r (r+h)
    • Área de la esfera: 4 π r²
    • Volumen de la esfera de radio r: V = (4/3) π r³
    • Ángulos: 180 grados son equivalentes a π radianes
    • Volumen de un cilindro de radio r y altura h: V = π r² h
    En probabilidad
    • La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es: 6/π²
    • Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es: (π-2)/4
    • El número medio de formas de escribir un entero positivo como suma de dos cuadrados perfectos es π/4 (el orden es relevante).
    • Aguja de Buffon: si lanzamos al azar una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una línea es: Lπ/2D
    Métodos eficientes
    Los primeros millones de dígitos de π y 1/π se pueden consultar en Proyecto Gutenberg (véase enlaces externos). Uno de los records más recientes fue alcanzado en diciembre de 2002 por Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio, fijando el número pi con 1.241.100.000.000 dígitos; se necesitaron unas 602 horas con un superordenador de 64 nodos Hitachi SR8000 con una memoria de un terabyte capaz de llevar a cabo 2 billones de operaciones por segundo, más de seis veces el record previo (206 mil millones de dígitos).
    Estas aproximaciones proporcionaron una cantidad tan ingente de dígitos que puede decirse que ya no es útil sino para comprobar el funcionamiento de los superordenadores. La limitación no está en la computación sino en la memoria necesaria para almacenar una cadena con una cantidad tan grande de números.

    Comentario por Fernanda Maldonado — octubre 17, 2008 @ 3:45 pm

  41. HISTORIA DEL PI
    Pi, letra griega () usada en matemáticas como el símbolo del cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. El matemático griego Arquímedes afirmó correctamente que el valor de Pi se encuentra entre 3 +  y 3 + . El símbolo  fue usado por primera vez para representar esta razón en 1706 por el matemático inglés William Jones, pero su uso no se generalizó hasta su adopción por el matemático suizo Leonhard Euler en 1737. En 1882 el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró que  es un número trascendente —esto es, no puede ser la raíz de una ecuación polinómica con coeficientes racionales. De esta manera, Lindemann fue capaz de demostrar la imposibilidad de la cuadratura del círculo algebraicamente o usando la regla y el compás.
    Aunque  es un número irracional, es decir, tiene un número infinito de cifras decimales, se puede calcular con la exactitud deseada utilizando series.  ha sido calculada con cien millones de cifras decimales utilizando ordenadores, aunque esta precisión carece de utilidad práctica.
    LOS NUMEROS INMAGINARIOS
    Número imaginario, número complejo a + bi en el cual la componente imaginaria, b, es distinta de cero. Es decir, todos los números complejos que no son números reales son imaginarios.
    Los números complejos sin parte real, bi, b ≠ 0, se llaman imaginarios puros.
    Los números imaginarios no representan nada en el mundo real, pero matemáticamente son fáciles de usar y son de gran valor en las ciencias físicas para representar fenómenos periódicos.

    Comentario por Adriana Villacis — octubre 17, 2008 @ 3:47 pm

  42. HISTORIA DE PI (π)
    Es una letra o símbolo griega pi (π). Símbolo adoptado inicialmente en 1706 por William Jones y popularizado por Euler.
    La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego “περιφέρεια” (periferia) y “περίμετρον” (perímetro) de un círculo.
    Pi, letra griega () usada en matemáticas como el símbolo del cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. El matemático griego Arquímedes afirmó correctamente que el valor de Pi se encuentra entre 3 +  y 3 + . El símbolo  fue usado por primera vez para representar esta razón en 1706 por el matemático inglés William Jones, pero su uso no se generalizó hasta su adopción por el matemático suizo Leonhard Euler en 1737.

    NÚMEROS IMAGINARIOS:

    Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. Fue en el año 1777. Cuando Leonhard Euler le dio el nombre de i (por imaginario) y se propuso para ser descriptivo, aunque son un concepto válido suponiendo un plano con ejes cartesianos en el que los reales se encuentran sobre el eje horizontal y los imaginarios sobre el eje vertical.

    Comentario por rene — octubre 19, 2008 @ 1:00 pm

  43. Hablar de pi es tratar de resumir de tres a 6 mil años de historia en las cuales se han seguido varias lineas de investigación conocidas muy bien por todos nosotros dada la abundante información acumulada desde el momento en que el hombre comenzó a desentrañar el misterio que encierra esta constante.
    De estas lineas de investigación podríamos señalar algunas tales como: rectificación de un arco, cuadratura del círculo, determinación de la absisa y ordenada en un plano cartesiano y el intento de lograr la racionalidad de la constante pi. Todo esto a conducido a otros problemas: filosóficos, políticos conceptualmente hablando. Esto me permite dado que soy uno mas de tantos hombres que se han preocupado por dar una respuesta definitiva a este tema, que me veo en la necesidad de remitirlos a las siguientes direcciones:
    http://www.monografias.com/trabajos65/construccion-demostracion-pi/construccion-demostracion-pi.shtml
    http://www.monografias.com/trabajos63/sucesion-hipergeometrica/sucesion-hipergeometrica.shtml

    Comentario por Rodolfo Nieves — diciembre 30, 2008 @ 9:53 am


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